Упр.69 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 5-69. Докажите, что боковая поверхность правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
Рассмотрим боковую грань правильной усечённой пирамиды. Это равнобедренная трапеция, у которой основания равны соответствующим сторонам оснований пирамиды, а высота равна апофеме $$l$$.
Пусть стороны оснований правильной усечённой пирамиды равны $$a$$ и $$b$$, а число сторон оснований равно $$n$$. Тогда площадь одной боковой грани равна
$$S_1=\frac{1}{2}(a+b)l.$$
Так как все боковые грани равны, то площадь всей боковой поверхности равна
$$S_{\text{бок}}=n\cdot S_1=n\cdot \frac{1}{2}(a+b)l=\frac{1}{2}(na+nb)l.$$
Но $$na$$ и $$nb$$ — это периметры нижнего и верхнего оснований правильной усечённой пирамиды. Обозначим их через $$P_1$$ и $$P_2$$. Тогда
$$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}(P_1+P_2)l.$$
Следовательно, боковая поверхность правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
