Упр.68 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
В правильной четырёхугольной пирамиде найдите сторону основания, если боковое ребро равно $$5\ \text{см}$$, а полная поверхность — $$16\ \text{см}^2$$.
Обозначим сторону основания через $$a$$, а апофему пирамиды через $$l$$.
В правильной четырёхугольной пирамиде вершина $$S$$ проектируется в центр $$O$$ квадрата основания. Пусть $$M$$ — середина стороны $$BC$$. Тогда $$OM \perp BC$$, а значит, по теореме о трёх перпендикулярах $$SM \perp BC$$. Следовательно, $$SM$$ — апофема пирамиды.
В прямоугольном треугольнике $$SMC$$ имеем
$$SC^2=SM^2+MC^2.$$
Так как $$BC=a$$, то $$MC=\dfrac a2$$. По условию $$SC=5$$, значит
$$25=l^2+\frac{a^2}{4}.$$
Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и боковой поверхности:
$$S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}.$$
Для квадрата основания
$$S_{\text{осн}}=a^2,$$
а боковая поверхность правильной пирамиды равна
$$S_{\text{бок}}=\frac12 P_{\text{осн}}\cdot l=\frac12\cdot 4a\cdot l=2al.$$
По условию $$S_{\text{полн}}=16$$, значит
$$a^2+2al=16.$$
Из первого уравнения выразим $$l$$:
$$l=\sqrt{25-\frac{a^2}{4}}.$$
Подставим в уравнение площади:
$$a^2+2a\sqrt{25-\frac{a^2}{4}}=16.$$
Решим его. Обозначим $$x=a^2$$. Тогда
$$x+2\sqrt{x}\sqrt{25-\frac{x}{4}}=16.$$
После преобразований получаем два возможных значения:
$$a=2\sqrt2 \quad \text{или} \quad a=8.$$
Проверим их. При $$a=8$$ площадь основания равна $$64$$, что больше полной поверхности $$16$$, значит этот корень не подходит.
Следовательно,
$$a=2\sqrt2\text{ см}.$$
Ответ: $$2\sqrt2\text{ см}$$.
