Упр.68 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что любая плоскость, параллельная плоскости ах + by + cz + d = 0, задается уравнением ах + by + cz + + d1 = 0, d1 =/= d.

Подробный ответ

Пусть дана плоскость $$\alpha: ax+by+cz+d=0.$$

Рассмотрим плоскость $$\beta,$$ параллельную плоскости $$\alpha.$$ Тогда нормальный вектор плоскости $$\alpha$$ равен $$\vec n=(a,b,c),$$ и он перпендикулярен плоскости $$\beta$$, так как параллельные плоскости имеют одинаковые нормали.

Следовательно, у плоскости $$\beta$$ коэффициенты при $$x,$$ $$y,$$ $$z$$ в уравнении должны быть такими же, как у плоскости $$\alpha.$$ Значит, уравнение плоскости $$\beta$$ имеет вид

$$ax+by+cz+d_1=0.$$

Если бы оказалось, что $$d_1=d,$$ то уравнения плоскостей совпали бы, а значит, совпали бы и сами плоскости. Но по условию рассматривается другая плоскость, параллельная данной, поэтому $$d_1\ne d.$$