Упр.68 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что любая плоскость, параллельная плоскости $$ax+by+cz+d=0$$, задаётся уравнением $$ax+by+cz+d_1=0$$, $$d_1\ne d$$.
Пусть плоскость $$\beta$$ параллельна плоскости $$\alpha: ax+by+cz+d=0.$$
Тогда нормальный вектор плоскости $$\alpha$$ равен $$\vec n=(a,b,c).$$
Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны. Следовательно, плоскость $$\beta$$ имеет тот же нормальный вектор, а значит, её уравнение можно записать в виде
$$ax+by+cz+d_1=0.$$
Остаётся показать, что $$d_1\ne d.$$ Если бы было $$d_1=d,$$, то уравнения плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$ совпали бы, то есть это была бы одна и та же плоскость. Но по условию плоскость $$\beta$$ параллельна плоскости $$\alpha$$, а значит, либо совпадает с ней, либо не пересекает её; в данном случае речь идёт о другой плоскости, поэтому $$d_1\ne d.$$
Итак, любая плоскость, параллельная плоскости $$ax+by+cz+d=0,$$, задаётся уравнением
$$ax+by+cz+d_1=0,\qquad d_1\ne d.$$
