Упр.67 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Найдите сторону основания и апофему правильной тре угольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 10 сма площадь боковой поверхности равна 144 см2.

Подробный ответ

Пусть $$AB=BC=CA=x$$ — сторона основания, а $$SM=y$$ — апофема пирамиды. Так как пирамида правильная, то $$SO \perp ABC$$, а в боковой грани $$SAC$$ отрезок $$SM$$ является высотой, значит $$SM \perp AC$$. Следовательно, $$SM$$ — апофема.

Грань $$SAC$$ — равнобедренный треугольник, так как $$SA=SC=10$$. Тогда $$M$$ — середина $$AC$$, и

$$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{x}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ASM$$ по теореме Пифагора:

$$ SA^2=AM^2+SM^2 $$

$$ 10^2=\left(\frac{x}{2}\right)^2+y^2 $$

$$ 400=x^2+4y^2. $$

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна

$$ S_{\text{бок}}=p\cdot SM, $$

где $$p$$ — полупериметр основания. Для равностороннего треугольника

$$ p=\frac{3x}{2}. $$

Тогда

$$ 144=\frac{3x}{2}\cdot y, $$