Упр.67 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, если её боковое ребро равно $$10\ \text{см}$$, а площадь боковой поверхности равна $$144\ \text{см}^2$$.
Пусть сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $$x$$, а апофема — $$y$$.
Обозначим через $$S$$ вершину пирамиды, через $$ABC$$ — основание, через $$M$$ — середину стороны $$AC$$. Тогда $$SM$$ — апофема пирамиды, а треугольник $$SAM$$ прямоугольный.
Так как основание — равносторонний треугольник, то $$AM=\frac{x}{2}$$. По теореме Пифагора для треугольника $$SAM$$ получаем:
$$SA^2=AM^2+SM^2$$
$$10^2=\left(\frac{x}{2}\right)^2+y^2$$
$$400=x^2+4y^2$$
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна
$$S_{\text{бок}}=p\cdot SM$$
где $$p$$ — полупериметр основания. Для равностороннего треугольника
$$p=\frac{3x}{2}$$
Тогда
$$144=\frac{3x}{2}\cdot y$$
$$xy=96$$
Решим систему:
$$\begin{cases} x^2+4y^2=400,\\ xy=96. \end{cases}$$
Умножим второе уравнение на $$4$$:
$$4xy=384$$
Сложим с первым уравнением:
$$x^2+4xy+4y^2=400+384$$
$$(x+2y)^2=784$$
$$x+2y=28$$
Подставим $$x=28-2y$$ в уравнение $$xy=96$$:
$$(28-2y)y=96$$
$$28y-2y^2=96$$
$$y^2-14y+48=0$$
$$(y-6)(y-8)=0$$
Следовательно, $$y=6$$ или $$y=8$$.
Тогда
$$x=\frac{96}{y}$$
получаем:
при $$y=6$$ имеем $$x=16$$, при $$y=8$$ имеем $$x=12$$.
Ответ: сторона основания и апофема равны $$16\text{ см}$$ и $$6\text{ см}$$ или $$12\text{ см}$$ и $$8\text{ см}$$.
