Упр.66 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Найдите двугранные углы при основании правильной пирамиды, у которой площадь основания равна Q, а боковая поверхность S.

Пусть $$ABCDS$$ — данная правильная пирамида. Проведём $$SO \perp ABCD$$, где $$O$$ — центр основания.

Тогда треугольники $$AOS$$, $$BOS$$, $$COS$$ и $$DOS$$ проектируются на основание в треугольники $$AOD$$, $$BOA$$, $$COB$$ и $$COD$$ соответственно. Поэтому площадь основания равна сумме площадей ортогональных проекций боковых граней.

Все боковые грани правильной пирамиды образуют с основанием один и тот же двугранный угол $$\varphi$$. Тогда площадь боковой поверхности выражается через площадь основания так:

$$S=\frac{Q}{\cos \varphi}$$

Отсюда

$$\cos \varphi=\frac{Q}{S}$$

Следовательно, двугранные углы при основании равны между собой и удовлетворяют равенству

$$\varphi=\arccos\frac{Q}{S}.$$

Ответ

$$\varphi=\arccos\frac{Q}{S}$$