Упр.66 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите двугранные углы при основании правильной пирамиды, у которой площадь основания равна $$Q$$, а боковая поверхность — $$S$$.

Пусть $$ABCDS$$ — правильная пирамида, $$SO \perp ABCD$$, где $$O$$ — центр основания. Тогда все боковые грани образуют с основанием одинаковые двугранные углы $$\varphi$$.

Площадь каждой боковой грани равна площади её ортогональной проекции на основание, делённой на $$\cos\varphi$$. Поэтому для всей боковой поверхности получаем

$$S=\frac{Q}{\cos\varphi}.$$

Отсюда

$$\cos\varphi=\frac{Q}{S}.$$

Следовательно, искомые двугранные углы при основании равны

$$\varphi=\arccos\frac{Q}{S}.$$

Ответ: $$\cos\varphi=\frac{Q}{S}$$, то есть $$\varphi=\arccos\frac{Q}{S}$$.