Упр.65 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 4-65. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку $$A$$ и перпендикулярна прямой $$AB$$, если:
   1) $$A(-1; 1; 2)$$, $$B(2; 0; 1)$$;
   2) $$A(1; 0; -1)$$, $$B(4; 6; -3)$$;
   3) $$A(3; -4; 5)$$, $$B(2; 1; -3)$$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $$A(x_0;y_0;z_0)$$ и перпендикулярной прямой $$AB$$, имеет вид

$$\overrightarrow{AB}\cdot \bigl(x-x_0,\; y-y_0,\; z-z_0\bigr)=0.$$

1) $$A(-1;1;2),\; B(2;0;1).$$

Найдём вектор $$\overrightarrow{AB}$$:

$$\overrightarrow{AB}=(2-(-1),\;0-1,\;1-2)=(3;\,-1;\,-1).$$

Тогда уравнение плоскости:

$$3(x+1)-1(y-1)-1(z-2)=0.$$

После упрощения получаем:

$$3x-y-z+6=0.$$

2) $$A(1;0;-1),\; B(4;6;-3).$$

$$\overrightarrow{AB}=(4-1,\;6-0,\;-3-(-1))=(3;\,6;\,-2).$$

Уравнение плоскости:

$$3(x-1)+6(y-0)-2(z+1)=0.$$

Отсюда:

$$3x+6y-2z-5=0.$$

3) $$A(3;-4;5),\; B(2;1;-3).$$

$$\overrightarrow{AB}=(2-3,\;1-(-4),\;-3-5)=(-1;\,5;\,-8).$$

Уравнение плоскости:

$$-(x-3)+5(y+4)-8(z-5)=0.$$

После преобразования:

$$x-5y+8z-63=0.$$

Ответ: 1) $$3x-y-z+6=0$$; 2) $$3x+6y-2z-5=0$$; 3) $$x-5y+8z-63=0$$.