Упр.64 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 5-64. По стороне основания $$a$$ найдите боковую поверхность правильной четырёхугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию.

Пусть $$SABCD$$ — правильная четырёхугольная пирамида, $$AB=a$$. Обозначим через $$O$$ центр основания, а через $$M$$ — середину стороны $$AB$$.

Тогда $$SO\perp ABCD$$, а в основании $$ABCD$$ — квадрат, поэтому

$$AC=a\sqrt{2}.$$

Диагональное сечение пирамиды — треугольник $$SAC$$. По условию его площадь равна площади основания:

$$S_{SAC}=S_{ABCD}.$$

С одной стороны,

$$S_{SAC}=\frac12\cdot AC\cdot SO.$$

С другой стороны,

$$S_{ABCD}=a^2.$$

Следовательно,

$$\frac12\cdot a\sqrt{2}\cdot SO=a^2,$$

откуда

$$SO=\frac{2a^2}{a\sqrt{2}}=a\sqrt{2}.$$

Теперь найдём боковое ребро $$SM$$. В прямоугольном треугольнике $$SOM$$ имеем

$$OM=\frac{a}{2},$$

поэтому

$$SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{2a^2+\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{9a^2}{4}}=\frac{3a}{2}.$$

Боковая поверхность правильной пирамиды равна

$$S_{\text{бок}}=4\cdot \frac12\cdot AB\cdot SM=2a\cdot \frac{3a}{2}=3a^2.$$

Ответ: $$3a^2$$.