Упр.64 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: 64. Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр и две равные наклонные, образующие углы а с перпендикуляром. Найдите угол ф между проекциями наклонных, если угол между наклонными р.

Подробный ответ

Обозначим проекции наклонных $$AB$$ и $$AC$$ на плоскость через $$DB$$ и $$DC$$ соответственно. Тогда угол между проекциями равен $$\varphi=\angle BDC$$.

Так как наклонные $$AB$$ и $$AC$$ равны и образуют с перпендикуляром $$AD$$ одинаковые углы $$\alpha$$, то в прямоугольных треугольниках $$ADB$$ и $$ADC$$

$$\sin \alpha=\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}.$$

Поскольку $$AB=AC$$, получаем $$DB=DC$$. Обозначим их через $$a$$. Тогда в треугольнике $$BDC$$ по теореме косинусов:

$$ \cos \varphi=\frac{DB^2+DC^2-BC^2}{2\cdot DB\cdot DC} =\frac{2a^2-BC^2}{2a^2}. $$

Найдём $$BC^2$$ из треугольника $$BAC$$ по теореме косинусов:

$$ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \beta. $$

Так как $$AB=AC=\frac{a}{\sin \alpha}$$, то

$$ BC^2=\frac{a^2}{\sin^2 \alpha}+\frac{a^2}{\sin^2 \alpha}-2\cdot \frac{a^2\cos \beta}{\sin^2 \alpha} =\frac{2a^2(1-\cos \beta)}{\sin^2 \alpha}. $$

Подставим это в формулу для $$\cos \varphi$$:

$$ \cos \varphi =\frac{2a^2-\frac{2a^2(1-\cos \beta)}{\sin^2 \alpha}}{2a^2} =1-\frac{1-\cos \beta}{\sin^2 \alpha} =\frac{\cos \beta-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}. $$