Упр.64 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр и две равные наклонные, образующие углы $$\alpha$$ с перпендикуляром. Найдите угол $$\varphi$$ между проекциями наклонных, если угол между наклонными $$\rho$$.

Подробный ответ

Пусть $$D$$ — основание перпендикуляра $$AD$$ к плоскости, а проекции наклонных $$AB$$ и $$AC$$ на плоскость — это отрезки $$DB$$ и $$DC$$. Тогда $$\angle BDC=\varphi$$.

Так как наклонные равны, то их проекции тоже равны: $$DB=DC=a$$.

В прямоугольном треугольнике $$ADB$$ имеем

$$\sin \alpha=\frac{AD}{AB}, \qquad AB=\frac{AD}{\sin \alpha}.$$

Аналогично $$AC=\dfrac{AD}{\sin \alpha}$$, значит $$AB=AC$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$. По теореме косинусов:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos\beta.$$

Подставим $$AB=AC=\dfrac{a}{\sin\alpha}$$:

$$BC^2=\frac{a^2}{\sin^2\alpha}+\frac{a^2}{\sin^2\alpha}-2\cdot \frac{a^2}{\sin^2\alpha}\cos\beta =\frac{2a^2(1-\cos\beta)}{\sin^2\alpha}.$$

В треугольнике $$BDC$$ по теореме косинусов:

$$BC^2=DB^2+DC^2-2\cdot DB\cdot DC\cos\varphi =2a^2-2a^2\cos\varphi.$$

Приравнивая два выражения для $$BC^2$$, получаем:

$$2a^2-2a^2\cos\varphi=\frac{2a^2(1-\cos\beta)}{\sin^2\alpha}.$$