Упр.63 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой поверхности равна $$14{,}76\ \text{м}^2$$, а площадь полной поверхности — $$18\ \text{м}^2$$. Найдите сторону основания и высоту пирамиды.

Площадь основания пирамиды равна разности полной и боковой поверхностей:

$$S_{\text{осн}}=18-14{,}76=3{,}24\ \text{м}^2.$$

Так как пирамида правильная, основание $$ABCD$$ — квадрат. Тогда

$$AB=\sqrt{S_{\text{осн}}}=\sqrt{3{,}24}=1{,}8\ \text{м}.$$

Найдём апофему $$SM$$. Для правильной пирамиды

$$S_{\text{бок}}=p\cdot SM,$$

где $$p$$ — полупериметр основания. Для квадрата

$$p=\frac{4AB}{2}=2AB,$$

значит

$$SM=\frac{S_{\text{бок}}}{p}=\frac{14{,}76}{2\cdot 1{,}8}=4{,}1\ \text{м}.$$

Пусть $$O$$ — центр основания. Тогда $$OM$$ — расстояние от центра квадрата до середины его стороны:

$$OM=\frac{AB}{2}=0{,}9\ \text{м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SOM$$ имеем

$$SO=\sqrt{SM^2-OM^2}=\sqrt{4{,}1^2-0{,}9^2}=\sqrt{16{,}81-0{,}81}=\sqrt{16}=4\ \text{м}.$$

Ответ: $$1{,}8\ \text{м},\ 4\ \text{м}.$$