Упр.62 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 5.62. Найдите полную поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если её боковое ребро $$a$$, а радиус окружности, вписанной в основание, $$r$$.
Основание правильной шестиугольной пирамиды — правильный шестиугольник. Если радиус вписанной в него окружности равен $$r,$$ то сторона шестиугольника
$$a_1=2r\tan 30^\circ=\frac{2r}{\sqrt{3}}=\frac{2r\sqrt{3}}{3}.$$
Площадь основания:
$$S_{\text{осн}}=6\cdot \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4} =6\cdot \frac{\left(\frac{2r\sqrt{3}}{3}\right)^2\sqrt{3}}{4} =2r^2\sqrt{3}.$$
Пусть $$M$$ — середина стороны основания. Тогда $$OM=r,$$ а в правильной пирамиде $$SO\perp$$ основанию, значит $$SM$$ — апофема боковой грани. В прямоугольном треугольнике $$SOM$$:
$$SM=\sqrt{SA^2-MA^2}.$$
Так как $$SA=a,$$ а $$MA=\dfrac{a_1\sqrt{3}}{2}=\dfrac{r}{1}$$? Удобнее сразу найти апофему через треугольник боковой грани. В равнобедренном треугольнике с боковыми сторонами $$a$$ и основанием $$a_1$$ высота равна
$$SM=\sqrt{a^2-\left(\frac{a_1}{2}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{r^2}{3}}.$$
Тогда площадь боковой поверхности:
$$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}P_{\text{осн}}\cdot SM =\frac{1}{2}\cdot 6a_1\cdot \sqrt{a^2-\frac{r^2}{3}}$$
$$=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \frac{2r\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{a^2-\frac{r^2}{3}} =2r\sqrt{3a^2-r^2}.$$
Полная поверхность пирамиды:
$$S=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}} =2r^2\sqrt{3}+2r\sqrt{3a^2-r^2} =2r\left(r\sqrt{3}+\sqrt{3a^2-r^2}\right).$$
Ответ: $$2r\left(r\sqrt{3}+\sqrt{3a^2-r^2}\right).$$
