Упр.61 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- По стороне основания $$a$$ и высоте $$h$$ найдите полную поверхность правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
Для правильной пирамиды полная поверхность равна
$$S=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}},$$
а боковая поверхность правильной пирамиды выражается формулой
$$S_{\text{бок}}=p\cdot SM,$$
где $$p$$ — полупериметр основания, $$SM$$ — апофема пирамиды.
Найдём полную поверхность для каждого случая.
Правильная треугольная пирамида.
Апофема:
$$SM=\sqrt{h^2+\frac{a^2}{12}}.$$
Полупериметр основания:
$$p=\frac{3a}{2}.$$
Площадь основания:
$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$
Тогда
$$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{3a}{2}\sqrt{h^2+\frac{a^2}{12}} =\frac{a\sqrt{3}}{4}\left(a+\sqrt{a^2+12h^2}\right).$$
Правильная четырёхугольная пирамида.
Апофема:
$$SM=\sqrt{h^2+\frac{a^2}{4}}.$$
Полупериметр основания:
$$p=2a.$$
Площадь основания:
$$S_{\text{осн}}=a^2.$$
Тогда
$$S=a^2+2a\sqrt{h^2+\frac{a^2}{4}} =a\left(a+\sqrt{a^2+4h^2}\right).$$
Правильная шестиугольная пирамида.
Апофема:
$$SM=\sqrt{h^2+\frac{3a^2}{4}}.$$
Полупериметр основания:
$$p=3a.$$
Площадь основания:
$$S_{\text{осн}}=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}.$$
Тогда
$$S=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}+3a\sqrt{h^2+\frac{3a^2}{4}} =\frac{3a}{2}\left(a\sqrt{3}+\sqrt{3a^2+4h^2}\right).$$
Ответ: 1) $$\frac{a\sqrt{3}}{4}\left(a+\sqrt{a^2+12h^2}\right);$$ 2) $$a\left(a+\sqrt{a^2+4h^2}\right);$$ 3) $$\frac{3a}{2}\left(a\sqrt{3}+\sqrt{3a^2+4h^2}\right).$$
