Упр.61 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: По стороне основания а и высоте h найдите полную поверхность правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.

Полная поверхность правильной пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

$$S=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}.$$

Для правильной пирамиды

$$S_{\text{бок}}=p\cdot SM,$$

где $$p$$ — полупериметр основания, $$SM$$ — апофема пирамиды.

Используем формулы для апофемы правильных пирамид.

1) Правильная треугольная пирамида

$$SM=\sqrt{h^2+\frac{a^2}{12}}, \qquad p=\frac{3a}{2}, \qquad S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Тогда

$$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{3a}{2}\sqrt{h^2+\frac{a^2}{12}} =\frac{a\sqrt{3}}{4}\left(a+\sqrt{a^2+12h^2}\right). $$

2) Правильная четырёхугольная пирамида

$$SM=\sqrt{h^2+\frac{a^2}{4}}, \qquad p=2a, \qquad S_{\text{осн}}=a^2.$$

Следовательно,

$$ S=a^2+2a\sqrt{h^2+\frac{a^2}{4}} =a\left(a+\sqrt{a^2+4h^2}\right). $$

3) Правильная шестиугольная пирамида

$$SM=\sqrt{h^2+\frac{3a^2}{4}}, \qquad p=3a, \qquad S_{\text{осн}}=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$ S=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}+3a\sqrt{h^2+\frac{3a^2}{4}} =\frac{3a}{2}\left(a\sqrt{3}+\sqrt{3a^2+4h^2}\right). $$

Ответ

1) $$\frac{a\sqrt{3}}{4}\left(a+\sqrt{a^2+12h^2}\right);$$ 2) $$a\left(a+\sqrt{a^2+4h^2}\right);$$ 3) $$\frac{3a}{2}\left(a\sqrt{3}+\sqrt{3a^2+4h^2}\right).$$