Упр.61 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что угол ф между прямыми, содержащими векторы а и b, определяется из уравнения |ab| = |а| • |b| cos ф.

Перенесём векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ так, чтобы они начинались в одной точке $$A$$. Пусть их концы — точки $$C$$ и $$B$$ соответственно. Тогда

$$\vec a=\overrightarrow{AC}, \qquad \vec b=\overrightarrow{AB}.$$

По правилу треугольника

$$\overrightarrow{CB}=\vec b-\vec a.$$

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По теореме косинусов

$$BC^2=AC^2+AB^2-2\cdot AC\cdot AB\cdot \cos\varphi.$$

Так как $$AC=|\vec a|$$, $$AB=|\vec b|$$, а $$BC=|\vec b-\vec a|$$, получаем

$$|\vec b-\vec a|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a|\cdot|\vec b|\cos\varphi.$$

С другой стороны, по свойствам скалярного произведения

$$|\vec b-\vec a|^2=(\vec b-\vec a)^2=\vec b^{\,2}+\vec a^{\,2}-2\vec a\cdot\vec b.$$

Сравнивая два выражения для $$|\vec b-\vec a|^2$$, получаем

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cos\varphi.$$

Следовательно, угол $$\varphi$$ между прямыми, содержащими векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$, определяется формулой

$$|\vec a\vec b|=|\vec a|\cdot|\vec b|\cos\varphi.$$

Ответ

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cos\varphi.$$