Упр.61 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что угол $$\varphi$$ между прямыми, содержащими векторы $$\mathbf{a}$$ и $$\mathbf{b}$$, определяется из уравнения $$|ab|=|\mathbf{a}|\cdot|\mathbf{b}|\cos\varphi$$.
Перенесём векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ так, чтобы они начинались в одной точке $$A$$. Пусть их концами будут точки $$C$$ и $$B$$ соответственно. Тогда
$$\vec a=\overrightarrow{AC}, \qquad \vec b=\overrightarrow{AB}.$$
По правилу треугольника
$$\overrightarrow{CB}=\vec b-\vec a.$$
Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По теореме косинусов
$$BC^2=AC^2+AB^2-2\cdot AC\cdot AB\cdot \cos\varphi.$$
Так как $$AC=|\vec a|$$, $$AB=|\vec b|$$, $$BC=|\vec b-\vec a|$$, получаем
$$|\vec b-\vec a|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a|\cdot|\vec b|\cos\varphi.$$
С другой стороны, по свойствам скалярного произведения
$$|\vec b-\vec a|^2=(\vec b-\vec a)^2=\vec a^2+\vec b^2-2\vec a\cdot\vec b.$$
Сравнивая два выражения для $$|\vec b-\vec a|^2$$, получаем
$$2|\vec a|\cdot|\vec b|\cos\varphi=2\vec a\cdot\vec b,$$
откуда
$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cos\varphi.$$
Это и требовалось доказать.
