Упр.60 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. По данной стороне основания $$a$$ и высоте $$b$$ найдите апофему правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.

Обозначим через $$O$$ центр основания правильной пирамиды, через $$S$$ — её вершину, а через $$M$$ — середину стороны основания. Тогда $$SO=b$$, а $$SM$$ — апофема пирамиды.

В прямоугольном треугольнике $$SOM$$ имеем

$$SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{b^2+r^2},$$

где $$r=OM$$ — радиус вписанной в основание окружности.

Для правильного $$n$$-угольника

$$r=\frac{a}{2\tg\frac{180^\circ}{n}}.$$

Теперь найдём $$r$$ для каждого случая.

1. Правильная треугольная пирамида:

   $$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$$

   Тогда

   $$SM=\sqrt{b^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2}=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{12}}.$$

2. Правильная четырёхугольная пирамида:

   $$r=\frac{a}{2}.$$

   Следовательно,

   $$SM=\sqrt{b^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}.$$

3. Правильная шестиугольная пирамида:

   $$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

   Тогда

   $$SM=\sqrt{b^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{b^2+\frac{3a^2}{4}}.$$

Ответ: 1) $$\sqrt{b^2+\frac{a^2}{12}}$$; 2) $$\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}$$; 3) $$\sqrt{b^2+\frac{3a^2}{4}}$$.