Упр.60 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Точка находится на расстояниях $$a$$ и $$b$$ от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей (рис. 66).

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$c$$. Из точки $$A$$ опустим перпендикуляры $$AB \perp \alpha$$ и $$AD \perp \beta$$, а также $$AC \perp c$$.

Тогда $$AB=b$$, $$AD=a$$. Так как $$c \subset \alpha$$ и $$c \subset \beta$$, то по теореме о трёх перпендикулярах имеем $$BC \perp c$$ и $$BC \perp \beta$$. Кроме того, $$AD \perp \beta$$, значит $$AD \parallel BC$$. Следовательно, четырёхугольник $$ABCD$$ — прямоугольник.

Диагональ этого прямоугольника равна искомому расстоянию от точки $$A$$ до прямой $$c$$, поэтому

$$AC=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Ответ: $$\sqrt{a^2+b^2}$$.