Упр.6 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В равностороннем цилиндре (диаметр равен высоте цилиндра) точка окружности верхнего основания соединена с точкой окружности нижнего основания. Угол между радиусами, проведёнными в эти точки, равен $$60^\circ$$. Найдите угол $$x$$ между проведённой прямой и осью цилиндра (рис. 155).

Проведём через отрезок $$AC$$ плоскость, параллельную оси цилиндра. Тогда сечение цилиндра этой плоскостью — прямоугольник $$ABCD$$, где $$AB$$ и $$CD$$ — образующие цилиндра, а $$BA \parallel OO_1$$.

Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$BO_1C$$. Так как $$AO = O_1C = r$$, $$OD = O_1B = r$$ и $$AD \parallel O_1B$$, то эти треугольники равны при параллельном переносе. Следовательно, угол между радиусами верхнего основания равен углу между соответствующими радиусами нижнего основания, то есть $$\angle BO_1C = 60^\circ$$.

Тогда треугольник $$BO_1C$$ равносторонний, значит $$BC = r$$.

Искомый угол $$x$$ — это угол между прямой $$AC$$ и осью цилиндра, то есть $$x=\angle BAC$$.

В прямоугольном треугольнике $$BAC$$ имеем:

$$AB=2r,\qquad BC=r.$$

Тогда

$$\tan x=\tan \angle BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{r}{2r}=\frac12.$$

Следовательно,

$$x=\arctan \frac12.$$

Ответ: $$\arctan \frac12$$.