Упр.6 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B равностороннем цилиндре (диаметр равен высоте цилиндра) точка окружности верхнего основания соединена с точкой окружности нижнего основания. Угол между радиусами, проведенными в эти точки, равен 60°. Найдите угол x между проведенной прямой и осью цилиндра (рис. 155).

Подробный ответ

Проведём через отрезок $$AC$$ плоскость, параллельную оси цилиндра. Тогда сечение цилиндра этой плоскостью — прямоугольник $$ABCD$$, где $$AB \parallel OO_1$$, а $$AB=CD=OO_1$$.

Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$BO_1C$$. Так как $$BA \parallel DC \parallel OO_1$$, то эти треугольники можно совместить параллельным переносом. Поэтому

$$\angle BO_1C=\angle (OA,O_1C)=60^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$BO_1C$$ равносторонний, значит

$$BC=r,$$

где $$r$$ — радиус основания цилиндра.

Так как $$BA \parallel OO_1$$, то искомый угол $$x$$ равен углу $$\angle BAC$$.

В прямоугольном треугольнике $$BAC$$ имеем: $$AB$$ — высота цилиндра, а по условию цилиндр равносторонний, значит $$AB=2r$$. Тогда

$$ \tan x=\tan \angle BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{r}{2r}=\frac{1}{2}. $$

Отсюда

$$ x=\arctg \frac{1}{2}. $$