Упр.6 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите точки, равноотстоящие от точек $$(0; 0; 1)$$, $$(0; 1; 0)$$, $$(1; 0; 0)$$ и отстоящие от плоскости $$yz$$ на расстояние $$2$$.

Пусть $$K(x;y;z)$$ — искомая точка. Так как расстояние от точки $$K$$ до плоскости $$yz$$ равно $$2$$, то $$|x|=2$$, то есть $$x=2$$ или $$x=-2$$.

По условию точка $$K$$ равноотстоит от точек $$A(0;0;1)$$, $$B(0;1;0)$$ и $$C(1;0;0)$$, значит

$$KA=KB=KC.$$

Вычислим квадраты расстояний:

$$KA^2=(x-0)^2+(y-0)^2+(z-1)^2=x^2+y^2+z^2-2z+1,$$
$$KB^2=(x-0)^2+(y-1)^2+(z-0)^2=x^2+y^2+z^2-2y+1,$$
$$KC^2=(x-1)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=x^2+y^2+z^2-2x+1.$$

Из равенства $$KA=KB$$ получаем

$$x^2+y^2+z^2-2z+1=x^2+y^2+z^2-2y+1,$$
$$y=z.$$

Из равенства $$KA=KC$$ получаем

$$x^2+y^2+z^2-2z+1=x^2+y^2+z^2-2x+1,$$
$$x=z.$$

Следовательно, $$x=y=z$$. С учётом условия $$|x|=2$$ имеем две точки:

$$K_1(2;2;2), \qquad K_2(-2;-2;-2).$$

Ответ: $$(2;2;2)$$ и $$(-2;-2;-2)$$.