Упр.6 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника.

Пусть $$X$$ — произвольная точка прямой $$a$$.

Так как $$O$$ — центр описанной около $$\triangle ABC$$ окружности, то

$$OA=OB=OC=r.$$

Поскольку $$a \perp (ABC)$$ и точка $$X$$ лежит на прямой $$a$$, то отрезок $$XO$$ перпендикулярен плоскости $$ABC$$. Следовательно,

$$XO \perp OA,\quad XO \perp OB,\quad XO \perp OC.$$

Тогда треугольники $$XOA$$, $$XOB$$ и $$XOC$$ — прямоугольные, причём у них общий катет $$XO$$ и равные вторые катеты:

$$OA=OB=OC.$$

Значит,

$$\triangle XOA \cong \triangle XOB \cong \triangle XOC$$

по двум катетам. Отсюда

$$XA=XB=XC.$$

Итак, любая точка прямой $$a$$ равноудалена от вершин треугольника $$ABC$$.