Упр.6 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если две медианы или две биссектрисы треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике стороны, лежащие напротив углов $$A,$$ $$B,$$ $$C,$$ равны соответственно $$a,$$ $$b,$$ $$c.$$

Докажем отдельно оба утверждения.

1. Если две биссектрисы равны

Пусть $$l_a=l_b.$$ Для биссектрис треугольника известны формулы:

$$l_a=\frac{\sqrt{bc\bigl((b+c)^2-a^2\bigr)}}{b+c},\qquad l_b=\frac{\sqrt{ac\bigl((a+c)^2-b^2\bigr)}}{a+c}.$$

Из равенства $$l_a=l_b$$ получаем после возведения в квадрат:

$$\frac{bc\bigl((b+c)^2-a^2\bigr)}{(b+c)^2} = \frac{ac\bigl((a+c)^2-b^2\bigr)}{(a+c)^2}.$$

Преобразуем:

$$bc\,(b+c-a)(b+c+a)\,(a+c)^2 = ac\,(a+c-b)(a+c+b)\,(b+c)^2.$$

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем:

$$(b-a)\bigl(3abc+c^2(a+b)+c^3+ab(a+b)\bigr)=0.$$

Второй множитель не может быть равен нулю, так как все стороны треугольника положительны. Значит,

$$b-a=0,\qquad a=b.$$

Следовательно, треугольник равнобедренный.

2. Если две медианы равны

Пусть $$m_a=m_b.$$ Для медиан имеем формулы:

$$m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2},\qquad m_b=\frac12\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}.$$

Из равенства $$m_a=m_b$$ следует:

$$\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2} = \frac12\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}.$$

Возведём в квадрат:

$$2b^2+2c^2-a^2=2a^2+2c^2-b^2.$$

Переносим слагаемые в одну сторону:

$$3b^2-3a^2=0,$$

откуда

$$a^2=b^2.$$

Так как $$a>0$$ и $$b>0,$$ то $$a=b.$$ Значит, и в этом случае треугольник равнобедренный.

Ответ

Если две медианы или две биссектрисы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.