Упр.59 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: По данной стороне основания а и боковому ребру b найди те высоту правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четы рехугольной; 3) шестиугольной.

Пусть $$A$$ — вершина основания, $$S$$ — вершина пирамиды, $$O$$ — центр окружности, описанной около основания. Тогда $$SO$$ — высота правильной пирамиды, а в прямоугольном треугольнике $$\triangle ASO$$ имеем

$$h=SO=\sqrt{AS^2-AO^2}=\sqrt{b^2-R^2},$$

где $$R$$ — радиус описанной около основания окружности.

Для правильного $$n$$-угольника

$$R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

1) Правильная треугольная пирамида.

Основание — равносторонний треугольник, поэтому

$$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

Тогда

$$h=\sqrt{b^2-\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}.$$

2) Правильная четырёхугольная пирамида.

Основание — квадрат, значит

$$R=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

Следовательно,

$$h=\sqrt{b^2-\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}.$$

3) Правильная шестиугольная пирамида.

Для правильного шестиугольника

$$R=a.$$

Тогда

$$h=\sqrt{b^2-a^2}.$$

Ответ

$$1)\ \sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}};\quad 2)\ \sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}};\quad 3)\ \sqrt{b^2-a^2}.$$