Упр.59 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
По данной стороне основания $$a$$ и боковому ребру $$b$$ найдите высоту правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
Высота правильной пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания. Обозначим через $$O$$ центр основания, через $$S$$ — вершину пирамиды, через $$A$$ — вершину основания. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ASO$$
$$h=SO=\sqrt{AS^2-AO^2}=\sqrt{b^2-R^2},$$
где $$R$$ — радиус описанной около основания окружности.
Для правильного $$n$$-угольника
$$R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$
Тогда:
для правильной треугольной пирамиды
$$R=\frac{a\sqrt{3}}{3},$$
$$h=\sqrt{b^2-\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}};$$
для правильной четырёхугольной пирамиды
$$R=\frac{a\sqrt{2}}{2},$$
$$h=\sqrt{b^2-\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}};$$
для правильной шестиугольной пирамиды
$$R=a,$$
$$h=\sqrt{b^2-a^2}.$$
Ответ: 1) $$\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}$$; 2) $$\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}$$; 3) $$\sqrt{b^2-a^2}$$.
