Упр.59 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

4. Даны четыре точки $$A(0; 1; -1)$$, $$B(1; -1; 2)$$, $$C(3; 1; 0)$$, $$D(2; -3; 1)$$. Найдите косинус угла $$\varphi$$ между векторами $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$.

Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{AB}=(1-0;\,-1-1;\,2-(-1))=(1;\,-2;\,3),$$

$$\overrightarrow{CD}=(2-3;\,-3-1;\,1-0)=(-1;\,-4;\,1).$$

Вычислим их длины:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+3^2}=\sqrt{14},$$

$$|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{(-1)^2+(-4)^2+1^2}=\sqrt{18}.$$

Скалярное произведение:

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=1\cdot(-1)+(-2)\cdot(-4)+3\cdot1=-1+8+3=10.$$

Тогда

$$\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{CD}|}=\frac{10}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{18}}=\frac{10}{\sqrt{252}}=\frac{5}{\sqrt{63}}.$$

Ответ: $$\cos\varphi=\frac{5}{\sqrt{63}}.$$