Упр.59 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

3-59. Из точек $$A$$ и $$B$$, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры $$AC$$ и $$BD$$ на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка $$AB$$, если:

$$AC=6\text{ м}$$, $$BD=7\text{ м}$$, $$CD=6\text{ м}$$;
$$AC=3\text{ м}$$, $$BD=4\text{ м}$$, $$CD=12\text{ м}$$;
$$AD=4\text{ м}$$, $$BC=7\text{ м}$$, $$CD=1\text{ м}$$;
$$AD=BC=5\text{ м}$$, $$CD=1\text{ м}$$;
$$AC=a$$, $$BD=5$$, $$CD=c$$;
$$AD=a$$, $$BC=b$$, $$CD=c$$.

Подробный ответ

Обозначим прямую пересечения плоскостей через $$l$$. Тогда $$AC \perp l$$ и $$BD \perp l$$, а значит, треугольники с катетами, лежащими в соответствующих плоскостях, прямоугольные.

$$AC=6\text{ м},\ BD=7\text{ м},\ CD=6\text{ м}.$$
В $$\triangle CDB$$:
$$CB=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{6^2+7^2}=\sqrt{85}.$$
В $$\triangle ACB$$:
$$AB=\sqrt{AC^2+CB^2}=\sqrt{6^2+85}=\sqrt{121}=11\text{ м}.$$
$$AC=3\text{ м},\ BD=4\text{ м},\ CD=12\text{ м}.$$
В $$\triangle CDB$$:
$$CB=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{160}.$$
В $$\triangle ACB$$:
$$AB=\sqrt{AC^2+CB^2}=\sqrt{3^2+160}=\sqrt{169}=13\text{ м}.$$
$$AD=4\text{ м},\ BC=7\text{ м},\ CD=1\text{ м}.$$
В $$\triangle ACD$$:
$$AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}.$$
В $$\triangle ACB$$:
$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{15+7^2}=\sqrt{64}=8\text{ м}.$$
$$AD=BC=5\text{ м},\ CD=1\text{ м}.$$
В $$\triangle ACD$$:
$$AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}.$$
В $$\triangle ACB$$:
$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{24+5^2}=\sqrt{49}=7\text{ м}.$$
$$AC=a,\ BD=b,\ CD=c.$$
В $$\triangle CDB$$:
$$CB=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{c^2+b^2}.$$
В $$\triangle ACB$$:
$$AB=\sqrt{AC^2+CB^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$
$$AD=a,\ BC=b,\ CD=c.$$
В $$\triangle ACD$$:
$$AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt{a^2-c^2}.$$
В $$\triangle ACB$$:
$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{a^2+b^2-c^2}.$$