Упр.59 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: 59. Из точек A и By лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры AC и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка AB, если: 1) AC = 6 м, BD = 7 м, CD = 6 м; 2) AC = 3 м, BD = 4 м, CD = 12 м; 3) AD = 4 м, BC = 7 м, CD = 1 м;4) AD = BC = 5 м, CD = 1 м; 5) AC = а, BD = 5, CD = с; 6) AD = а, BC = b, CD = с.
Так как плоскости перпендикулярны, то прямая пересечения этих плоскостей перпендикулярна к перпендикулярам, опущенным из точек $$A$$ и $$B$$ на эту прямую. Поэтому треугольники с катетами, лежащими в соответствующих плоскостях, прямоугольные.
Обозначим через $$C$$ и $$D$$ основания перпендикуляров $$AC$$ и $$BD$$ на прямую пересечения плоскостей.
Тогда:
- в прямоугольном треугольнике $$CDB$$ имеем $$CB=\sqrt{CD^2+BD^2}$$;
- в прямоугольном треугольнике $$ACB$$ имеем $$AB=\sqrt{AC^2+CB^2}$$.
1) $$AC=6$$ м, $$BD=7$$ м, $$CD=6$$ м.
$$ CB=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{6^2+7^2}=\sqrt{85} $$
$$ AB=\sqrt{AC^2+CB^2}=\sqrt{6^2+85}=\sqrt{121}=11\text{ м} $$
2) $$AC=3$$ м, $$BD=4$$ м, $$CD=12$$ м.
$$ CB=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{160} $$
$$ AB=\sqrt{3^2+160}=\sqrt{169}=13\text{ м} $$
3) $$AD=4$$ м, $$BC=7$$ м, $$CD=1$$ м.
Из прямоугольного треугольника $$ACD$$:
$$ AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15} $$
Тогда в прямоугольном треугольнике $$ACB$$:
$$ AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{15+7^2}=\sqrt{64}=8\text{ м} $$
4) $$AD=BC=5$$ м, $$CD=1$$ м.
$$ AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24} $$
$$ AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{24+5^2}=\sqrt{49}=7\text{ м} $$
5) $$AC=a$$, $$BD=5$$, $$CD=c$$.
$$ CB=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{c^2+25} $$
$$ AB=\sqrt{AC^2+CB^2}=\sqrt{a^2+c^2+25} $$
6) $$AD=a$$, $$BC=b$$, $$CD=c$$.
Из прямоугольного треугольника $$ACD$$:
$$ AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt{a^2-c^2} $$
Тогда
$$ AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{a^2-c^2+b^2} $$
Ответ
1) $$11$$ м; 2) $$13$$ м; 3) $$8$$ м; 4) $$7$$ м; 5) $$\sqrt{a^2+c^2+25}$$; 6) $$\sqrt{a^2+b^2-c^2}$$.