Упр.58 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной четырёхугольной пирамиде плоский угол при вершине равен $$\alpha$$. Найдите двугранный угол $$x$$ при основании пирамиды.

Пусть $$ABCDS$$ — правильная четырёхугольная пирамида, $$\angle DSC=\alpha$$. Обозначим через $$O$$ центр квадрата $$ABCD$$, а через $$M$$ — основание перпендикуляра, опущенного из $$S$$ на ребро $$DC$$.

Так как пирамида правильная, то высота $$SO$$ проходит через центр основания, а значит $$O$$ — точка пересечения диагоналей квадрата $$ABCD$$. Кроме того, $$OM\perp DC$$, поэтому $$OM$$ — расстояние от центра квадрата до стороны, то есть

$$OM=\frac{AB}{2}.$$

В треугольнике $$DSC$$ имеем $$DS=SC$$, значит он равнобедренный. Тогда высота $$SM$$ к основанию $$DC$$ является также биссектрисой, поэтому

$$\angle DSM=\frac{\alpha}{2}, \qquad DM=\frac{DC}{2}=\frac{AB}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SMD$$:

$$SM=\frac{DM}{\tg \frac{\alpha}{2}}=\frac{AB}{2\tg \frac{\alpha}{2}}.$$

Искомый двугранный угол при основании равен линейному углу $$\angle SMO=x$$. В прямоугольном треугольнике $$SMO$$

$$\cos x=\frac{OM}{SM}=\frac{\frac{AB}{2}}{\frac{AB}{2\tg \frac{\alpha}{2}}}=\tg \frac{\alpha}{2}.$$

Ответ: $$\cos x=\tg \frac{\alpha}{2}.$$