Упр.58 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Векторы $$a$$, $$b$$, $$c$$ единичной длины образуют попарно углы $$60^\circ$$. Найдите угол $$\varphi$$ между векторами: 1) $$a$$ и $$b+c$$; 2) $$a$$ и $$b-c$$.

Так как векторы $$\vec a$$, $$\vec b$$ и $$\vec c$$ единичной длины и попарно образуют углы $$60^\circ$$, то

$$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1,$$

а также

$$\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=\vec b\cdot\vec c=\cos 60^\circ=\frac12.$$

1) Найдём угол $$\varphi$$ между векторами $$\vec a$$ и $$\vec b+\vec c$$.

Сначала вычислим скалярное произведение:

$$\vec a\cdot(\vec b+\vec c)=\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c=\frac12+\frac12=1.$$

Теперь найдём длину вектора $$\vec b+\vec c$$:

$$|\vec b+\vec c|^2=(\vec b+\vec c)^2=\vec b^{\,2}+\vec c^{\,2}+2\vec b\cdot\vec c=1+1+2\cdot\frac12=3,$$

значит,

$$|\vec b+\vec c|=\sqrt3.$$

Тогда

$$\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot(\vec b+\vec c)}{|\vec a|\cdot|\vec b+\vec c|} =\frac{1}{1\cdot\sqrt3} =\frac1{\sqrt3}.$$

2) Найдём угол $$\varphi$$ между векторами $$\vec a$$ и $$\vec b-\vec c$$.

Имеем

$$\vec a\cdot(\vec b-\vec c)=\vec a\cdot\vec b-\vec a\cdot\vec c=\frac12-\frac12=0.$$

Кроме того,

$$|\vec b-\vec c|^2=(\vec b-\vec c)^2=\vec b^{\,2}+\vec c^{\,2}-2\vec b\cdot\vec c =1+1-2\cdot\frac12=1,$$

то есть $$|\vec b-\vec c|=1.$$

Следовательно,

$$\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot(\vec b-\vec c)}{|\vec a|\cdot|\vec b-\vec c|} =\frac{0}{1\cdot1}=0,$$

откуда $$\varphi=90^\circ.$$

Ответ: 1) $$\cos\varphi=\frac1{\sqrt3}$$; 2) $$\varphi=90^\circ$$.