Упр.58 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$c$$. По условию прямая $$a$$ лежит в плоскости $$\alpha$$ и $$a \perp c$$.

Возьмём точку $$C = a \cap c$$ и проведём через неё в плоскости $$\beta$$ прямую $$b$$, такую что $$b \perp c$$.

Тогда плоскость $$\gamma$$, проходящая через прямые $$a$$ и $$b$$, перпендикулярна прямой $$c$$. Действительно, в плоскости $$\gamma$$ лежат две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$, обе перпендикулярные $$c$$.

Так как $$\alpha \perp \beta$$, то прямая $$a$$, лежащая в плоскости $$\alpha$$ и перпендикулярная линии пересечения $$c$$, перпендикулярна и прямой $$b$$, лежащей в плоскости $$\beta$$ и проходящей через точку $$C$$. Следовательно, $$a \perp \beta$$.

Итак, если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.