Упр.57 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ образуют угол $$60^\circ$$, а вектор $$\vec c$$ им перпендикулярен. Найдите абсолютную величину вектора $$\vec a+\vec b+\vec c$$.

Обозначим искомую величину через $$\left|\vec a+\vec b+\vec c\right|.$$ Тогда

$$\left|\vec a+\vec b+\vec c\right| =\sqrt{(\vec a+\vec b+\vec c)^2}.$$

Раскроем квадрат суммы:
$$(\vec a+\vec b+\vec c)^2 =\vec a^{\,2}+\vec b^{\,2}+\vec c^{\,2}+2\vec a\cdot\vec b+2\vec a\cdot\vec c+2\vec b\cdot\vec c.$$

Так как $$\vec c \perp \vec a$$ и $$\vec c \perp \vec b,$$ то
$$\vec a\cdot\vec c=0,\qquad \vec b\cdot\vec c=0.$$
Кроме того, угол между $$\vec a$$ и $$\vec b$$ равен $$60^\circ,$$ значит
$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos 60^\circ=\frac12|\vec a|\,|\vec b|.$$

Подставим:
$$(\vec a+\vec b+\vec c)^2 =|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+|\vec a|\,|\vec b|.$$

Следовательно,
$$\left|\vec a+\vec b+\vec c\right| =\sqrt{|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+|\vec a|\,|\vec b|}.$$

Ответ

$$\sqrt{|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+|\vec a|\,|\vec b|}$$