Упр.57 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Из вершин A и B острых углов прямоугольного треугольника ABC восставлены перпендикуляры AA1 и BB1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка A1B1, если A1C = 4 м, A1A = 3 м, B1C = 6 м, B1B — 2 м и отрезок A1B1 не пересекает плоскость треугольника.

Обозначим через $$K$$ середину отрезка $$AB$$, а через $$K_1$$ — середину отрезка $$A_1B_1$$. Требуется найти расстояние от точки $$C$$ до точки $$K_1$$.

Так как $$AA_1 \perp (ABC)$$ и $$BB_1 \perp (ABC)$$, то $$AA_1 \parallel BB_1$$. Следовательно, точки $$A, B, A_1, B_1$$ лежат в одной плоскости, а четырёхугольник $$AA_1B_1B$$ — трапеция. Тогда отрезок $$KK_1$$ является её средней линией, поэтому

$$ KK_1=\frac{AA_1+BB_1}{2}=\frac{3+2}{2}=\frac{5}{2}\text{ м}. $$

Найдём сначала стороны прямоугольного треугольника $$ABC$$.

В прямоугольном треугольнике $$A_1AC$$:

$$ AC=\sqrt{A_1C^2-AA_1^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt7. $$

В прямоугольном треугольнике $$B_1BC$$:

$$ BC=\sqrt{B_1C^2-BB_1^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}. $$

Так как $$\triangle ABC$$ прямоугольный, то

$$ AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{7+32}=\sqrt{39}. $$

Точка $$K$$ — середина гипотенузы $$AB$$, значит она равноудалена от вершин треугольника, и

$$ CK=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{39}}{2}. $$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$CKK_1$$ получаем

$$ CK_1=\sqrt{CK^2+KK_1^2} =\sqrt{\left(\frac{\sqrt{39}}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{39+25}{4}} =\sqrt{16}=4. $$

Ответ

$$4\text{ м}$$