Упр.57 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из вершин $$A$$ и $$B$$ острых углов прямоугольного треугольника $$ABC$$ восставлены перпендикуляры $$AA_1$$ и $$BB_1$$ к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины $$C$$ до середины отрезка $$A_1B_1$$, если $$A_1C=4\text{ м}$$, $$A_1A=3\text{ м}$$, $$B_1C=6\text{ м}$$, $$B_1B=2\text{ м}$$ и отрезок $$A_1B_1$$ не пересекает плоскость треугольника.

Обозначим через $$K$$ середину отрезка $$A_1B_1$$, а через $$K_1$$ — проекцию точки $$K$$ на плоскость $$ABC$$. Тогда $$CK_1$$ — искомое расстояние.

Так как $$AA_1 \perp (ABC)$$ и $$BB_1 \perp (ABC)$$, то $$AA_1 \parallel BB_1$$. Следовательно, точки $$A_1, B_1, A, B$$ лежат в одной плоскости, а четырёхугольник $$AA_1B_1B$$ — трапеция. Поскольку $$K$$ — середина отрезка $$A_1B_1$$, то $$K_1$$ — середина отрезка $$AB$$, и $$KK_1$$ — средняя линия трапеции:

$$KK_1=\frac{AA_1+BB_1}{2}=\frac{3+2}{2}=\frac{5}{2}\text{ м}.$$

Найдём стороны прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$AC=\sqrt{A_1C^2-AA_1^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt7,$$

$$BC=\sqrt{B_1C^2-BB_1^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}.$$

Тогда

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{7+32}=\sqrt{39}.$$

Так как треугольник $$ABC$$ прямоугольный, то его описанная окружность имеет центр в середине гипотенузы $$AB$$, а радиус равен половине гипотенузы. Значит,

$$CK_1=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{39}}{2}.$$

Теперь по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$CKK_1$$:

$$CK=\sqrt{CK_1^2+KK_1^2}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{39}}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{39+25}{4}}=\sqrt{16}=4\text{ м}.$$

Ответ: $$4\text{ м}$$.