Упр.56 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Впишите в квадрат равносторонний треугольник с заданной вершиной на одной из сторон квадрата.

Подробный ответ

Пусть дан квадрат $$ABCD$$ и точка $$M$$ на его стороне. Нужно построить равносторонний треугольник, вписанный в квадрат и имеющий заданную вершину в точке $$M$$.

Повернём квадрат $$ABCD$$ на $$60^\circ$$ вокруг точки $$M$$. Для этого проведём через $$M$$ прямую, составляющую угол $$60^\circ$$ со стороной $$DC$$, и отметим на ней точки $$C’$$ и $$D’$$ так, чтобы выполнялось $$MC’=MC$$ и $$MD’=MD$$. Затем достроим квадрат $$A’B’C’D’$$ со стороной $$C’D’$$.

Квадраты $$ABCD$$ и $$A’B’C’D’$$ пересекутся в точке $$N$$.

Построим окружность с центром в точке $$N$$ и радиусом $$R=NM$$. Пусть эта окружность пересекает сторону $$DA$$ в точке $$K$$.

Тогда треугольник $$MNK$$ — искомый: он равносторонний, так как при повороте на $$60^\circ$$ вокруг точки $$M$$ отрезок, соответствующий стороне квадрата, переходит в равный ему отрезок, а точка $$N$$ остаётся общей для исходного и повернутого квадратов. Следовательно, $$MN=NK=KM$$.