Упр.56 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной треугольной пирамиде с высотой $$h$$ через сторону основания $$a$$ проведена плоскость, пересекающая противолежащее боковое ребро под прямым углом. Найдите площадь сечения.

Пусть плоскость сечения пересекает ребро $$BC$$ в точке $$D$$, а сторону $$AC$$ — в точке $$M$$. Тогда сечение — треугольник $$AMD$$.

Так как пирамида $$SABC$$ правильная, то $$AB=BC=CA=a$$, а высота $$SH=h$$ проходит через центр описанной окружности основания. Следовательно, в равностороннем треугольнике $$ABC$$

$$BM=\frac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad HB=R=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$SHB$$:

$$SB=\sqrt{SH^2+HB^2}=\sqrt{h^2+\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{3h^2+a^2}{3}}.$$

Плоскость сечения проходит через сторону $$AC$$ и перпендикулярна ребру $$BC$$, поэтому треугольники $$ADB$$ и $$CDB$$ прямоугольные, а из равенства $$AB=BC$$ получаем $$AD=DC$$. Значит, $$D$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AC$$, то есть $$MD\perp AC$$.

Тогда треугольники $$SHB$$ и $$MDB$$ подобны: у них общий угол при $$B$$, а $$\angle SHB=\angle MDB=90^\circ$$. Отсюда

$$\frac{MD}{SH}=\frac{MB}{SB}.$$

Следовательно,

$$MD=\frac{SH\cdot MB}{SB} =\frac{h\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\frac{3h^2+a^2}{3}}} =\frac{3ah}{2\sqrt{3h^2+a^2}}.$$

Площадь сечения равна площади треугольника $$AMD$$:

$$S_{AMD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot MD =\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{3ah}{2\sqrt{3h^2+a^2}} =\frac{3a^2h}{4\sqrt{a^2+3h^2}}.$$

Ответ: $$\frac{3a^2h}{4\sqrt{a^2+3h^2}}$$.