Упр.56 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B правильной треугольной пирамиде с высотой h через сторону основания а проведена плоскость, пересекающая противолежащее боковое ребро под прямым углом. Найдите площадь сечения.

Подробный ответ

Обозначим через $$M$$ середину ребра $$AC$$. Тогда в равностороннем треугольнике $$ABC$$ отрезок $$BM$$ является медианой, высотой и биссектрисой, поэтому

$$BM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Плоскость сечения проходит через сторону $$AC$$ и пересекает ребро $$BC$$ под прямым углом, значит сечение — треугольник $$ADC$$, причём $$AD=DC$$. Следовательно, $$\triangle ADC$$ равнобедренный, а отрезок $$DM$$ перпендикулярен $$AC$$.

Так как пирамида $$ABCS$$ правильная, то высота $$SH=h$$ проходит через центр описанной окружности треугольника $$ABC$$. Поэтому

$$HB=R=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SHB$$ имеем

$$SB=\sqrt{SH^2+HB^2}=\sqrt{h^2+\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{3h^2+a^2}{3}}.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$SHB$$ и $$MDB$$. У них общий угол при $$B$$, а также $$\angle SHB=\angle MDB=90^\circ$$, значит, они подобны. Тогда

$$\frac{MD}{SH}=\frac{MB}{SB}.$$

Отсюда

$$MD=\frac{SH\cdot MB}{SB}=\frac{h\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\frac{3h^2+a^2}{3}}} =\frac{3ah}{2\sqrt{3h^2+a^2}}.$$

Теперь найдём площадь сечения $$ADC$$:

$$S_{ADC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot MD=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{3ah}{2\sqrt{3h^2+a^2}} =\frac{3a^2h}{4\sqrt{a^2+3h^2}}.$$