Упр.56 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны три точки $$A(1; 0; 1)$$, $$B(-1; 1; 2)$$, $$C(0; 2; -1)$$. Найдите на оси $$z$$ такую точку $$D(0; 0; c)$$, чтобы векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ были перпендикулярны.

Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{AB}=( -1-1;\,1-0;\,2-1)=(-2;\,1;\,1),$$

$$\overrightarrow{CD}=(0-0;\,0-2;\,c-(-1))=(0;\,-2;\,c+1).$$

Так как векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю:

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=(-2)\cdot 0+1\cdot(-2)+1\cdot(c+1)=0.$$

Отсюда

$$-2+c+1=0,$$

$$c=1.$$

Следовательно, искомая точка:

$$D(0;\,0;\,1).$$

Ответ: $$D(0;\,0;\,1).$$