Упр.56 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 3-56. Из вершин $$A$$ и $$B$$ равностороннего треугольника $$ABC$$ восставлены перпендикуляры $$AA_1$$ и $$BB_1$$ к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины $$C$$ до середины отрезка $$A_1B_1$$, если $$AB=2\ \text{м}$$, $$CA_1=3\ \text{м}$$, $$CB_1=7\ \text{м}$$ и отрезок $$A_1B_1$$ не пересекает плоскость треугольника.

Пусть $$K$$ — середина отрезка $$AB$$, а $$K_1$$ — середина отрезка $$A_1B_1$$. Проведём через точку $$C$$ прямую $$CK$$, перпендикулярную $$AB$$. Тогда в равностороннем треугольнике $$ABC$$ эта прямая является и медианой, и биссектрисой, значит $$K$$ — середина $$AB$$.

Так как $$AA_1 \perp (ABC)$$ и $$BB_1 \perp (ABC)$$, то $$AA_1 \parallel BB_1$$. Следовательно, точки $$A, B, B_1, A_1$$ лежат в одной плоскости, а четырёхугольник $$BB_1A_1A$$ — трапеция. Поскольку $$K$$ — середина основания $$AB$$, а $$K_1$$ — середина другого основания $$A_1B_1$$, то $$KK_1$$ — средняя линия трапеции:

$$KK_1=\frac{AA_1+BB_1}{2}.$$

Найдём высоты перпендикуляров:

$$AA_1=\sqrt{CA_1^2-CA^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5,$$

$$BB_1=\sqrt{CB_1^2-CB^2}=\sqrt{7^2-2^2}=3\sqrt5.$$

Тогда

$$KK_1=\frac{\sqrt5+3\sqrt5}{2}=2\sqrt5.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$CKK_1$$. Так как $$CK$$ — медиана в равностороннем треугольнике, то

$$CK=\sqrt{BC^2-BK^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3.$$

Следовательно, искомое расстояние равно

$$CK_1=\sqrt{CK^2+KK_1^2}=\sqrt{(\sqrt3)^2+(2\sqrt5)^2}=\sqrt{3+20}=\sqrt{23}.$$

Ответ: $$\sqrt{23}\text{ м}$$.