Упр.56 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Из вершин A и B равностороннего треугольника ABC восставлены перпендикуляры AA1 и BB1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка A1B1, если AB = 2 м, CA1 = 3 м, CB1 = 7 м и отрезок A1B1 не пересекает плоскость треугольника.

Подробный ответ

Обозначим через $$K$$ середину отрезка $$AB$$, а через $$K_1$$ — середину отрезка $$A_1B_1$$. Проведём $$CK \perp AB$$. Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то $$CK$$ одновременно является медианой и высотой, значит $$AK=KB$$.

Прямые $$AA_1$$ и $$BB_1$$ перпендикулярны плоскости $$ABC$$, следовательно, они параллельны. Тогда точки $$A, B, A_1, B_1$$ лежат в одной плоскости, а четырёхугольник $$BB_1A_1A$$ — трапеция. Поскольку $$K$$ — середина основания $$AB$$, то отрезок $$KK_1$$ является средней линией трапеции, поэтому

$$KK_1=\frac{AA_1+BB_1}{2}.$$

Найдём высоты $$AA_1$$ и $$BB_1$$ из прямоугольных треугольников $$AA_1C$$ и $$BB_1C$$:

$$ AA_1=\sqrt{CA_1^2-CA^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5, $$

$$ BB_1=\sqrt{CB_1^2-CB^2}=\sqrt{7^2-2^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5. $$

Тогда

$$ KK_1=\frac{\sqrt5+3\sqrt5}{2}=2\sqrt5. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$CKK_1$$. Так как $$CK$$ — биссектриса угла $$ACB$$, а $$\triangle ABC$$ равносторонний, то

$$\angle KCB=\frac12\angle ACB=30^\circ.$$

Следовательно,

$$ KC=BC\cdot \cos 30^\circ=2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3. $$

Тогда искомое расстояние от точки $$C$$ до середины отрезка $$A_1B_1$$ равно

$$ CK_1=\sqrt{KK_1^2+KC^2}=\sqrt{(2\sqrt5)^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{20+3}=\sqrt{23}. $$