Упр.55 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 4-55. При каком значении $$n$$ данные векторы перпендикулярны:
   1) $$\mathbf a=(2;-1;3)$$, $$\mathbf b=(1;3;n)$$;
   2) $$\mathbf a=(n;-2;1)$$, $$\mathbf b=(n;-n;1)$$;
   3) $$\mathbf a=(n;-2;1)$$, $$\mathbf b=(n;2n;4)$$;
   4) $$\mathbf a=(4;2n;-1)$$, $$\mathbf b=(-1;1;n)$$?

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

$$\vec a \cdot \vec b = 0.$$

1. $$\vec a=(2;\,-1;\,3), \quad \vec b=(1;\,3;\,n).$$

   Тогда

   $$\vec a \cdot \vec b = 2\cdot 1 + (-1)\cdot 3 + 3\cdot n = 0.$$

   $$2-3+3n=0,$$

   $$3n=1,$$

   $$n=\frac13.$$

2. $$\vec a=(n;\,-2;\,1), \quad \vec b=(n;\,-n;\,1).$$

   Тогда

   $$\vec a \cdot \vec b = n\cdot n + (-2)\cdot(-n) + 1\cdot 1 = 0.$$

   $$n^2+2n+1=0,$$

   $$\left(n+1\right)^2=0,$$

   $$n=-1.$$

3. $$\vec a=(n;\,-2;\,1), \quad \vec b=(n;\,2n;\,4).$$

   Тогда

   $$\vec a \cdot \vec b = n\cdot n + (-2)\cdot 2n + 1\cdot 4 = 0.$$

   $$n^2-4n+4=0,$$

   $$\left(n-2\right)^2=0,$$

   $$n=2.$$

4. $$\vec a=(4;\,2n;\,-1), \quad \vec b=(-1;\,1;\,n).$$

   Тогда

   $$\vec a \cdot \vec b = 4\cdot(-1) + 2n\cdot 1 + (-1)\cdot n = 0.$$

   $$-4+2n-n=0,$$

   $$n=4.$$

Ответ: 1) $$n=\frac13$$; 2) $$n=-1$$; 3) $$n=2$$; 4) $$n=4$$.