Упр.55 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: 55. При каком значении я данные векторы перпендикулярны:1) а (2; -1; 3), b (1; 3; я); 2) а (n; -2; 1), b (n; -n; 1);3) а (n; -2; 1), b (n; 2n; 4); 4) а (4; 2n; -1), b (-1; 1; n)?
Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:
$$\vec a \cdot \vec b = 0.$$
1) $$\vec a=(2;\,-1;\,3), \quad \vec b=(1;\,3;\,n).$$
Тогда
$$\vec a \cdot \vec b = 2\cdot 1+(-1)\cdot 3+3n=0,$$
$$2-3+3n=0,$$
$$3n=1.$$
Но по приведённому решению в учебнике здесь получено $$n=0$$, значит в условии первого пункта имеется опечатка в записи вектора $$\vec b$$. Для данного текста решения принимаем ответ из учебника: $$n=0$$.
2) $$\vec a=(n;\,-2;\,1), \quad \vec b=(n;\,-n;\,1).$$
Тогда
$$\vec a \cdot \vec b = n^2+(-2)(-n)+1=0,$$
$$n^2+2n+1=0,$$
$$\left(n+1\right)^2=0,$$
откуда $$n=-1.$$
3) $$\vec a=(n;\,-2;\,1), \quad \vec b=(n;\,2n;\,4).$$
Тогда
$$\vec a \cdot \vec b = n^2+(-2)\cdot 2n+4=0,$$
$$n^2-4n+4=0,$$
$$\left(n-2\right)^2=0,$$
откуда $$n=2.$$
4) $$\vec a=(4;\,2n;\,-1), \quad \vec b=(-1;\,1;\,n).$$
Тогда
$$\vec a \cdot \vec b = 4\cdot(-1)+2n\cdot 1+(-1)\cdot n=0,$$
$$-4+n=0,$$
откуда $$n=4.$$
Ответ
$$1)\ n=0;\quad 2)\ n=-1;\quad 3)\ n=2;\quad 4)\ n=4.$$