Упр.55 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Даны прямая $$a$$ и плоскость $$\alpha$$. Докажите, что все прямые, перпендикулярные плоскости $$\alpha$$ и пересекающие прямую $$a$$, лежат в одной плоскости, перпендикулярной плоскости $$\alpha$$.

Отметим произвольную точку $$A$$ на прямой $$a$$ и проведём через неё прямую $$b$$, перпендикулярную плоскости $$\alpha$$.

Через прямые $$a$$ и $$b$$ проведём плоскость $$\beta$$. Тогда $$\beta \perp \alpha$$ по теореме о плоскости, проходящей через прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Пусть теперь $$c$$ — любая прямая, перпендикулярная плоскости $$\alpha$$ и пересекающая прямую $$a$$. Так как через точку $$A$$ к плоскости $$\alpha$$ можно провести только одну перпендикулярную прямую, то $$c \parallel b$$. Следовательно, прямая $$c$$ лежит в плоскости $$\beta$$ вместе с прямыми $$a$$ и $$b$$.

Значит, все прямые, перпендикулярные плоскости $$\alpha$$ и пересекающие прямую $$a$$, лежат в одной плоскости $$\beta$$, перпендикулярной плоскости $$\alpha$$.