Упр.54 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте трапецию по одному углу, двум диагоналям средней линии.

Пусть $$AC$$ и $$BD$$ — диагонали искомой трапеции, $$MN$$ — её средняя линия, $$\angle A=\alpha$$.

Построение удобно вести через вспомогательный треугольник.

1. Построим отрезок $$AE=2MN$$.
2. Построим треугольник $$ACE$$ так, чтобы $$AC$$ было одной из его сторон, $$CE=BD$$, а угол между прямой $$AE$$ и лучом $$AC$$ был равен $$\alpha$$.
3. Через точку $$A$$ проведём прямую $$a$$ под углом $$\alpha$$ к основанию $$AE$$.
4. Проведём среднюю линию треугольника $$ACE$$. Так как средняя линия трапеции делит диагонали пополам, она лежит на той же прямой, что и средняя линия трапеции. Обозначим точку пересечения этой прямой с $$a$$ через $$M$$.
5. На прямой $$a$$ отложим отрезок $$MN$$, равный данной средней линии.
6. Проведём прямую $$CN$$ и отметим точку $$D$$ как точку пересечения прямых $$AE$$ и $$CN$$.
7. Через точку $$D$$ проведём прямую, параллельную $$CE$$, и обозначим точку её пересечения с прямой $$BC$$ через $$B$$.

Тогда четырёхугольник $$ABCD$$ — искомая трапеция: $$AD \parallel BC$$, $$AC$$ и $$BD$$ являются её диагоналями, а средняя линия равна $$MN$$.

Ответ: трапеция $$ABCD$$ построена.