Упр.54 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: 54. Найдите радиус шара, описанного около правильной n-угольной пирамиды, если сторона основания равна а, a боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом а.

Подробный ответ

Проведём высоту пирамиды $$SO$$. Тогда точка $$O$$ — центр окружности, описанной около основания, так как основание — правильный $$n$$-угольник.

Радиус этой окружности равен

$$AO=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SAO$$ имеем

$$\cos\alpha=\frac{AO}{SA},$$

откуда

$$SA=\frac{AO}{\cos\alpha}=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}\cos\alpha}.$$

Также в треугольнике $$SAO$$

$$SO=AO\tan\alpha=\frac{a\tan\alpha}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

Пусть $$D$$ — точка, диаметрально противоположная точке $$S$$ на описанной около пирамиды сфере. Тогда $$SD$$ — диаметр сферы, а $$O_1$$ — её центр, поэтому

$$R=SO_1=\frac{1}{2}SD.$$

Так как $$\angle SAD=90^\circ$$, то в прямоугольном треугольнике $$ASD$$

$$AS^2=SD\cdot SO.$$

Следовательно,

$$SD=\frac{AS^2}{SO}.$$

Подставим найденные выражения:

$$ SD=\frac{\left(\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}\cos\alpha}\right)^2}{\frac{a\tan\alpha}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}} =\frac{a}{4\sin\frac{180^\circ}{n}\sin\alpha\cos\alpha} =\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}\sin2\alpha}. $$

Тогда радиус описанного шара равен

$$ R=\frac{1}{2}SD=\frac{a}{2\sin2\alpha\sin\frac{180^\circ}{n}}. $$