Упр.54 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите радиус шара, описанного около правильной $$n$$-угольной пирамиды, если сторона основания равна $$a$$, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $$\alpha$$.

Проведём высоту пирамиды $$SO$$. Тогда точка $$O$$ — центр окружности, описанной около основания пирамиды, а значит, для правильного $$n$$-угольника

$$AO=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SAO$$ имеем

$$\cos\alpha=\frac{AO}{SA},$$

откуда

$$SA=\frac{AO}{\cos\alpha}.$$

Также

$$SO=AO\tan\alpha.$$

Рассмотрим треугольник $$ASD$$, где $$D$$ — точка, диаметрально противоположная точке $$S$$ на описанной сфере. Тогда $$SD$$ — диаметр шара, а $$\angle SAD=90^\circ$$, поэтому

$$AS^2=SD\cdot SO,$$

откуда

$$SD=\frac{AS^2}{SO}.$$

Подставим найденные выражения:

$$SD=\frac{\left(\frac{AO}{\cos\alpha}\right)^2}{AO\tan\alpha} =\frac{AO}{\sin\alpha\cos\alpha} =\frac{2AO}{\sin 2\alpha}.$$

Тогда радиус описанного шара равен половине диаметра:

$$R=\frac{SD}{2} =\frac{AO}{\sin 2\alpha} =\frac{a}{2\sin 2\alpha\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

Ответ: $$R=\frac{a}{2\sin 2\alpha\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$