Упр.54 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан вектор $$\vec a=(1;2;3)$$. Найдите коллинеарный ему вектор $$\vec c$$ с началом в точке $$A(1;1;1)$$ и концом $$B$$ на плоскости $$xy$$.

Так как точка $$B$$ лежит в плоскости $$xy$$, то её третья координата равна нулю. Значит,

$$B(x;y;0).$$

Тогда координаты вектора $$\overrightarrow{AB}$$ равны

$$\overrightarrow{AB}=(x-1;\,y-1;\,-1).$$

По условию векторы $$\vec a=(1;2;3)$$ и $$\overrightarrow{AB}$$ коллинеарны, значит, их координаты пропорциональны:

$$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{-1}{3}.$$

Из равенства $$\frac{x-1}{1}=\frac{-1}{3}$$ получаем

$$x-1=-\frac13,\qquad x=\frac23.$$

Из равенства $$\frac{y-1}{2}=\frac{-1}{3}$$ получаем

$$y-1=-\frac23,\qquad y=\frac13.$$

Следовательно, искомая точка

$$B\left(\frac23;\frac13;0\right).$$

Ответ: $$B\left(\frac23;\frac13;0\right).$$