Упр.53 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Сторона основания правильной $$n$$-угольной пирамиды равна $$a$$, двугранный угол при основании равен $$\varphi$$. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду.
Проведём высоту пирамиды $$SO$$. Тогда точка $$O$$ — центр окружности, описанной около основания правильного $$n$$-угольника, значит, $$\triangle AOB$$ — равнобедренный и
$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{n}.$$
Проведём перпендикуляр $$OH\perp BA$$. По теореме о трёх перпендикулярах $$SH\perp BA$$, поэтому $$\angle SHO=\varphi$$ — линейный угол двугранного угла при основании.
В прямоугольном треугольнике $$OHB$$ отрезок $$OH$$ является высотой, медианой и биссектрисой, поэтому
$$OH=\frac{BH}{\tg \angle HOB}=\frac{a}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$
Центр вписанного шара лежит на биссектрисе двугранного угла, значит, если обозначить его через $$O_1$$, то
$$\angle OHO_1=\frac{\varphi}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$OO_1H$$ получаем
$$OO_1=OH\cdot \tg \angle OHO_1=OH\cdot \tg \frac{\varphi}{2}.$$
Подставляя найденное значение $$OH$$, получаем радиус шара:
$$r=OO_1=\frac{a\tg \frac{\varphi}{2}}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$
Ответ: $$\frac{a\tg \frac{\varphi}{2}}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}$$.
