Упр.53 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Сторона основания правильной n-угольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен ф. Найдите paдиус шара, вписанного в пирамиду.

Подробный ответ

Проведём высоту пирамиды $$SO$$. Тогда точка $$O$$ — центр окружности, описанной около основания правильной $$n$$-угольной пирамиды, значит $$\triangle AOB$$ — равнобедренный и

$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{n}.$$

Проведём перпендикуляр $$OH \perp BA$$. По теореме о трёх перпендикулярах $$SH \perp AB$$, поэтому $$\angle SHO=\varphi$$ — линейный угол двугранного угла при основании.

В прямоугольном $$\triangle OHB$$ отрезок $$OH$$ является высотой, медианой и биссектрисой, следовательно

$$OH=\frac{BH}{\tg \angle HOB}.$$

Так как $$\triangle AOB$$ равнобедренный, то

$$BH=\frac{a}{2}, \qquad \angle HOB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{180^\circ}{n}.$$

Тогда

$$OH=\frac{a}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$

Центр вписанного шара лежит на биссектрисе двугранного угла, поэтому в прямоугольном $$\triangle OO_1H$$ имеем

$$\angle OHO_1=\frac{\varphi}{2}.$$

Следовательно, радиус шара

$$r=OO_1=OH\cdot \tg \frac{\varphi}{2}.$$

Подставляя найденное значение $$OH$$, получаем

$$r=\frac{a\tg \frac{\varphi}{2}}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$