Упр.53 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 3-53. Из вершины прямого угла $$C$$ треугольника $$ABC$$ восставлен перпендикуляр $$CD$$ к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки $$D$$ до гипотенузы треугольника, если $$AB = a$$, $$BC = b$$, $$CD = c$$.

Пусть $$CK\perp AB$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$DK\perp AB$$, значит, $$DK$$ — искомое расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AB$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{a^2-b^2}.$$

Площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{ABC}=\frac12 AB\cdot CK=\frac12 AC\cdot BC.$$

Отсюда

$$CK=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}\cdot b}{a}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$CDK$$:

$$DK=\sqrt{CD^2+CK^2}=\sqrt{c^2+\left(\frac{b\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)^2}.$$

Следовательно,

$$DK=\sqrt{c^2+\frac{b^2(a^2-b^2)}{a^2}}=\sqrt{c^2+b^2-\frac{b^4}{a^2}}.$$

Ответ: $$\sqrt{c^2+b^2-\frac{b^4}{a^2}}$$.