Упр.52 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Дан треугольник ABC и прямая d, проходящая через вершину C и пересекающая сторону AB. Найдите на прямой d точку D, из которой стороны AC и BC треугольника видны под равными углами.

Подробный ответ

Построим точку $$B’$$, симметричную точке $$B$$ относительно прямой $$d$$. Тогда прямая $$d$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$BB’$$.

Проведём луч $$B’A$$ и обозначим через $$D$$ точку его пересечения с прямой $$d$$.

Так как $$C \in d$$, то точки $$C$$ и $$M$$, где $$M$$ — основание перпендикуляра из $$B$$ на $$d$$, лежат на оси симметрии. Поэтому $$BM = B’M$$, а значит, $$CM$$ — высота и медиана треугольника $$BCB’$$. Следовательно, $$CB = CB’$$.

Аналогично, поскольку $$D \in d$$, то $$DM$$ — высота и медиана треугольника $$BDB’$$, откуда $$DB = DB’$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle B’DC$$ и $$\triangle BDC$$. Имеем:

$$B’D = BD,$$

$$B’C = BC,$$

$$DC = DC.$$

Следовательно, $$\triangle B’DC \cong \triangle BDC$$ по трём сторонам, значит,

$$\angle B’DC = \angle BDC.$$

Но точки $$A, D, B’$$ лежат на одной прямой, поэтому луч $$DB’$$ совпадает с лучом $$DA$$. Тогда

$$\angle ADC = \angle BDC,$$

а из равенства треугольников также получаем, что стороны $$AC$$ и $$BC$$ видны из точки $$D$$ под равными углами.

Итак, искомая точка $$D$$ — это точка пересечения прямой $$d$$ с лучом $$B’A$$, где $$B’$$ симметрична точке $$B$$ относительно прямой $$d$$.