Упр.52 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дан треугольник $$ABC$$ и прямая $$d$$, проходящая через вершину $$C$$ и пересекающая сторону $$AB$$. Найдите на прямой $$d$$ точку $$D$$, из которой стороны $$AC$$ и $$BC$$ треугольника видны под равными углами.

Построим точку $$B’$$, симметричную точке $$B$$ относительно прямой $$d$$. Тогда прямая $$d$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$BB’$$.

Проведём луч $$B’A$$ и обозначим через $$D$$ точку его пересечения с прямой $$d$$.

Пусть $$M$$ — точка пересечения прямой $$d$$ с отрезком $$BB’$$. Тогда $$CM$$ — общая высота и медиана треугольников $$BCB’$$ и $$DBB’$$, поэтому

$$CB=CB’$$, $$DB=DB’$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle B’DC$$ и $$\triangle BDC$$. У них

$$B’D=BD,\quad B’C=BC,\quad DC=DC.$$

Следовательно, $$\triangle B’DC \cong \triangle BDC$$ по трём сторонам, откуда

$$\angle B’DC=\angle BDC.$$

Но точки $$A, D, B’$$ лежат на одной прямой, значит

$$\angle ADC=\angle B’DC,\qquad \angle BDC=\angle CDA.$$

Итак,

$$\angle ADC=\angle CDA,$$

то есть стороны $$AC$$ и $$BC$$ видны из точки $$D$$ под равными углами.

Искомая точка $$D$$ — это точка пересечения прямой $$d$$ с прямой $$AB’$$, где $$B’$$ симметрична точке $$B$$ относительно $$d$$.