Упр.52 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Правильная $$n$$-угольная призма вписана в шар радиуса $$R$$. Ребро основания призмы равно $$a$$. Найдите высоту призмы при: 1) $$n=3$$; 2) $$n=4$$; 3) $$n=6$$.
Пусть $$r$$ — радиус окружности, описанной около основания призмы. Так как призма правильная и вписана в шар, центр шара лежит на оси призмы, а высота призмы равна удвоенному расстоянию от центра шара до плоскости основания:
$$h=2\sqrt{R^2-r^2}.$$
Остаётся найти $$r$$ для каждого случая.
Если $$n=3$$, то основание — равносторонний треугольник. Для него
$$r=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$
Тогда
$$h=2\sqrt{R^2-\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2}=2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{3}}.$$
Если $$n=4$$, то основание — квадрат. Радиус описанной окружности равен
$$r=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$
Следовательно,
$$h=2\sqrt{R^2-\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}=2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}}.$$
Если $$n=6$$, то основание — правильный шестиугольник. Для него
$$r=a.$$
Значит,
$$h=2\sqrt{R^2-a^2}.$$
Ответ: 1) $$2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{3}}$$; 2) $$2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}}$$; 3) $$2\sqrt{R^2-a^2}$$.
