Упр.52 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан равнобедренный треугольник с основанием 6 м и боковой стороной 5 м. Из центра вписанного круга восставлен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 2 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

Пусть $$K,$$ $$M$$ и $$N$$ — точки касания сторон треугольника с вписанной окружностью. Тогда $$OK \perp BC,$$ $$OM \perp AC,$$ $$ON \perp AB.$$ По теореме о трёх перпендикулярах получаем, что $$SK \perp BC,$$ $$SM \perp AC,$$ $$SN \perp AB,$$ значит, искомое расстояние от точки $$S$$ до каждой стороны треугольника одинаково.

Найдём радиус вписанной окружности. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ имеем $$AB=BC=5$$ м, $$AC=6$$ м. Тогда высота $$BM$$ к основанию $$AC$$ равна

$$BM=\sqrt{BC^2-MC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4\text{ м}.$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot BM\cdot AC=\frac12\cdot 4\cdot 6=12\text{ м}^2.$$

С другой стороны,

$$S_{ABC}=pr,$$

где $$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{5+5+6}{2}=8.$$ Тогда

$$12=8r,\qquad r=1{,}5\text{ м}.$$

Значит, $$OK=r=1{,}5$$ м. В прямоугольном треугольнике $$SOK$$:

$$SK=\sqrt{SO^2+OK^2}=\sqrt{2^2+1{,}5^2}=\sqrt{4+2{,}25}=\sqrt{6{,}25}=2{,}5\text{ м}.$$

Ответ: $$2{,}5$$ м.