Упр.51 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны попарно пересекающиеся прямые $$a$$, $$b$$, $$c$$. Постройте отрезок с серединой на прямой $$b$$, перпендикулярный ей, и концами на $$a$$ и $$c$$. Всегда ли задача имеет решение?
Построим прямую $$c’$$, симметричную прямой $$c$$ относительно прямой $$b$$.
Для этого возьмём произвольную точку $$C$$ на прямой $$c$$ и проведём через неё перпендикуляр к прямой $$b$$. Пусть $$B$$ — точка пересечения этого перпендикуляра с прямой $$b$$. На продолжении перпендикуляра отложим точку $$C’$$ так, чтобы $$BC’=BC$$. Тогда прямая, проходящая через точки $$B$$ и $$C’$$, и есть образ прямой $$c$$ при симметрии относительно $$b$$.
Теперь отметим точку $$M’$$ на пересечении прямых $$a$$ и $$c’$$ и проведём через неё перпендикуляр к прямой $$b$$. Пусть $$M$$ — точка пересечения этого перпендикуляра с прямой $$c$$. Тогда точки $$M$$ и $$M’$$ симметричны относительно прямой $$b$$, а значит, отрезок $$MM’$$ перпендикулярен $$b$$ и его середина лежит на прямой $$b$$.
Следовательно, искомый отрезок строится как отрезок, соединяющий точку пересечения прямой $$c$$ с образом точки пересечения прямых $$a$$ и $$c’$$.
Задача не всегда имеет решение: оно существует только в том случае, если прямая $$c’$$ пересекает прямую $$a$$. Если же $$c’ \parallel a$$, то искомый отрезок построить нельзя.
Ответ
Задача не всегда имеет решение; решение существует, если прямая $$c’$$ не параллельна прямой $$a$$.
