Упр.51 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В шар радиуса $$R$$ вписана правильная треугольная пирамида с плоскими углами $$\alpha$$ при ее вершине. Найдите высоту пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$SABC$$ — правильная треугольная пирамида, $$O$$ — центр основания, $$SO$$ — её высота. Обозначим через $$a$$ плоский угол при вершине пирамиды, то есть $$\angle ASC=a$$.

Проведём в грани $$ASC$$ высоту $$SH\perp AC$$. Так как треугольник $$ASC$$ равнобедренный, то $$H$$ — середина $$AC$$, а $$SH$$ является также медианой и биссектрисой. Тогда

$$AH=AS\sin\frac a2,$$

а значит

$$AC=2AH=2AS\sin\frac a2.$$

Пусть $$AS=a_1$$. Тогда

$$AC=2a_1\sin\frac a2.$$

Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника $$ABC$$ равен

$$AO=\frac{AC\sqrt3}{3}=\frac{2a_1\sin\frac a2\cdot \sqrt3}{3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ASO$$ имеем

$$SO=\sqrt{AS^2-AO^2}=\sqrt{a_1^2-\frac{4}{3}a_1^2\sin^2\frac a2}=a_1\sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^2\frac a2}.$$

Так как шар радиуса $$R$$ вписан в пирамиду, то центр шара лежит на высоте пирамиды, а расстояние от вершины до точки касания на ребре равно диаметру шара по соответствующему направлению. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной диаметру шара, получаем

$$a_1=2R\sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^2\frac a2}.$$

Подставляя это в формулу для $$SO$$, получаем

$$SO=2R\left(1-\frac{4}{3}\sin^2\frac a2\right).$$

Ответ: $$2R\left(1-\frac{4}{3}\sin^2\frac a2\right).$$