Упр.51 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоскими углами а при ее вершине. Найдите высоту пирамиды.

Подробный ответ

Обозначим вершину пирамиды через $$S$$, центр основания — через $$O$$, а центр описанной около основания окружности — через $$A_0$$. Проведём высоту пирамиды $$SO$$ и в боковой грани $$SAC$$ опустим высоту $$SH \perp AC$$.

Так как пирамида правильная, то грань $$SAC$$ — равнобедренный треугольник, а значит, $$SH$$ является и медианой, и биссектрисой. Если $$AS=a$$, то

$$AH=AS\sin\frac{a}{2}=a\sin\frac{a}{2},$$

следовательно,

$$AC=2AH=2a\sin\frac{a}{2}.$$

Найдём радиус окружности, описанной около основания $$\triangle ABC$$:

$$A_0O=\frac{AC\sqrt{3}}{3}=\frac{2a\sin\frac{a}{2}\cdot \sqrt{3}}{3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SAO_0$$ имеем

$$SO=\sqrt{AS^2-A_0O^2}=\sqrt{a^2-\frac{4}{3}a^2\sin^2\frac{a}{2}}=a\sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^2\frac{a}{2}}.$$

Так как шар радиуса $$R$$ вписан в пирамиду, то центр шара лежит на высоте пирамиды, а расстояние от него до вершины равно $$R$$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой и радиусом шара, получаем

$$a^2=2R\cdot a\sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^2\frac{a}{2}}.$$

Отсюда

$$a=2R\sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^2\frac{a}{2}}.$$

Тогда высота пирамиды равна

$$SO=a\sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^2\frac{a}{2}}=2R\left(1-\frac{4}{3}\sin^2\frac{a}{2}\right).$$