Упр.51 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 3-51. Точка $$M$$, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от вершины угла на расстояние $$a$$, от его сторон — на расстояние $$b$$. Найдите расстояние от точки $$M$$ до плоскости угла.
Пусть плоскость данного прямого угла обозначена через $$\alpha$$. Опустим из точки $$M$$ перпендикуляр $$MC$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$MC$$ — искомое расстояние от точки $$M$$ до плоскости угла.
Так как точка $$M$$ удалена от сторон угла на расстояние $$b$$, то
$$MB=MD=b.$$
Кроме того, расстояние от точки $$M$$ до вершины угла равно $$a$$, значит
$$MA=a.$$
По теореме о трёх перпендикулярах из точки $$C$$ получаем
$$BC\perp AB,\qquad CD\perp AD.$$
Так как наклонные $$BC$$ и $$CD$$ равны, то их проекции на плоскость $$\alpha$$ равны, следовательно, $$ABCD$$ — квадрат. Тогда
$$AB=AD=BC=CD.$$
Из прямоугольного треугольника $$AMD$$:
$$AD=\sqrt{MA^2-MD^2}=\sqrt{a^2-b^2}.$$
Теперь в прямоугольном треугольнике $$DCM$$:
$$MC=\sqrt{DM^2-DC^2}=\sqrt{b^2-(a^2-b^2)}=\sqrt{2b^2-a^2}.$$
Ответ: $$\sqrt{2b^2-a^2}$$.
