Упр.51 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Точка M, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от вершины угла на расстояние а, a от его сторон на расстояние b. Найдите расстояние от точки M до плоскости угла.

Подробный ответ

Обозначим плоскость данного прямого угла через $$\alpha$$. Пусть $$M$$ — точка вне этой плоскости, $$O$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$M$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда искомое расстояние равно $$MO$$.

Так как точка $$M$$ удалена от вершины угла на расстояние $$a$$, а от его сторон — на расстояние $$b$$, то для перпендикуляров к сторонам угла имеем

$$MA=a,\qquad MB=MD=b.$$

Проведём через точку $$M$$ перпендикуляр $$MC$$ к плоскости $$\alpha$$. Тогда проекции наклонных $$MB$$ и $$MD$$ на плоскость $$\alpha$$ равны соответственно $$BC$$ и $$CD$$. По теореме о трёх перпендикулярах получаем

$$BC\perp AB,\qquad CD\perp AD.$$

Так как угол прямой, то $$AB\perp AD$$. Следовательно, четырёхугольник $$ABCD$$ — квадрат, и потому

$$BC=CD=AB=AD.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AMD$$. По теореме Пифагора:

$$AD=\sqrt{AM^2-DM^2}=\sqrt{a^2-b^2}.$$

Значит,

$$CD=\sqrt{a^2-b^2}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$DCM$$:

$$MC=\sqrt{DM^2-DC^2}=\sqrt{b^2-(a^2-b^2)}=\sqrt{2b^2-a^2}.$$

Это и есть расстояние от точки $$M$$ до плоскости угла.