Упр.50 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Постройте прямоугольник $$ABCD$$, диагонали которого пересекаются в данной точке $$O$$, вершина $$A$$ лежит на данной прямой $$a$$, а вершины $$B$$ и $$D$$ — на пересекающихся прямых $$b$$ и $$d$$, не проходящих через точку $$O$$. Всегда ли задача имеет решение?

Подробный ответ

Так как диагонали прямоугольника пересекаются и делятся пополам, то точка $$O$$ — середина диагонали $$BD$$, значит $$BO=OD$$.

Построим отрезок $$BD$$ с центром в точке $$O$$ так, чтобы его концы лежали на прямых $$b$$ и $$d$$.

Далее построим окружность с диаметром $$BD$$. Тогда любая точка $$A$$ этой окружности удовлетворяет условию $$\angle BAD=90^\circ$$, то есть четырёхугольник $$ABCD$$ будет прямоугольником, если провести через $$A$$ прямые $$AB$$ и $$AD$$ параллельно соответствующим сторонам.

Остаётся выбрать точку $$A$$ как точку пересечения прямой $$a$$ с построенной окружностью. Если такая точка существует, то искомый прямоугольник можно построить.

Однако прямая $$a$$ может не пересекать окружность с диаметром $$BD$$. В этом случае построение невозможно.

Ответ: задача не всегда имеет решение; она не имеет решения, если прямая $$a$$ и окружность с диаметром $$BD$$ не имеют общих точек.