Упр.50 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Сколько олифы потребуется для окраски внешней поверхности $$100$$ ведер, имеющих форму усеченного конуса с диаметрами оснований $$25\text{ см}$$ и $$30\text{ см}$$ и образующей $$27{,}5\text{ см}$$, если на $$1\text{ м}^2$$ требуется $$150\text{ г}$$ олифы?

Обозначим образующую полного конуса через $$SC=a.$$ Тогда для подобных конусов имеем

$$\frac{AB}{DC}=\frac{SB}{SC},$$

где $$AB=25$$ см, $$DC=30$$ см, а $$SB=a$$, $$SC=a+27{,}5.$$ Следовательно,

$$\frac{25}{30}=\frac{a}{a+27{,}5}.$$

Решим уравнение:

$$30a=25(a+27{,}5),$$

$$30a=25a+687{,}5,$$

$$5a=687{,}5,$$

$$a=137{,}5\text{ см}.$$

Тогда

$$SC=a+27{,}5=165\text{ см}.$$

Найдём площадь боковой поверхности усечённого конуса:

$$S_{\text{бок}}=S_1-S_2=\pi\cdot O_1C\cdot SC-\pi\cdot OB\cdot SB,$$

где

$$O_1C=\frac{DC}{2}=15\text{ см},\qquad OB=\frac{AB}{2}=12{,}5\text{ см}.$$

Тогда

$$S_{\text{бок}}=\pi(15\cdot 165-12{,}5\cdot 137{,}5)=756{,}25\pi\text{ см}^2.$$

Площадь меньшего основания:

$$S_{\text{осн}}=\pi\left(\frac{AB}{2}\right)^2=\pi\cdot 12{,}5^2=156{,}25\pi\text{ см}^2.$$

Следовательно, площадь внешней поверхности одного ведра равна

$$S=756{,}25\pi+156{,}25\pi=912{,}5\pi\text{ см}^2\approx 2866\text{ см}^2=0{,}2866\text{ м}^2.$$

Для 100 вёдер потребуется поверхность

$$100\cdot 0{,}2866=28{,}66\text{ м}^2.$$

Если на $$1\text{ м}^2$$ требуется $$150$$ г олифы, то

$$m=28{,}66\cdot 150\approx 4299\text{ г}\approx 4{,}3\text{ кг}.$$

Ответ: $$4{,}3\text{ кг}.$$