Упр.50 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна $$a$$, а плоский угол при вершине равен $$\alpha$$. Найдите радиусы вписанного и описанного шаров.
Пусть $$SABCD$$ — правильная четырёхугольная пирамида, $$O$$ — центр основания, $$H$$ — основание высоты $$SH$$, $$\angle DSC=\alpha$$.
Так как основание — квадрат, то $$H$$ лежит на диагонали основания, а в равнобедренном треугольнике $$SDC$$ высота $$SH$$ является также медианой и биссектрисой. Поэтому
$$HC=\frac a2,\qquad \angle CSH=\frac{\alpha}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$SHC$$ имеем
$$SC=\frac{HC}{\sin \frac{\alpha}{2}}=\frac{a}{2\sin \frac{\alpha}{2}},$$
$$SH=\frac{HC}{\tg \frac{\alpha}{2}}=\frac{a}{2\tg \frac{\alpha}{2}}.$$
В прямоугольном треугольнике $$SOH$$, где $$OH=\frac a2$$, получаем
$$SO=\sqrt{SH^2-OH^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4\tg^2 \frac{\alpha}{2}}-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{\cos \alpha}}{2\sin \frac{\alpha}{2}}.$$
Радиус описанного шара равен расстоянию от центра шара до вершины пирамиды, то есть $$R=SM/2$$, где $$SM$$ — диаметр описанного шара. Из соотношения для хорды получаем
$$SM=\frac{SC^2}{SO}=\frac{\left(\frac{a}{2\sin \frac{\alpha}{2}}\right)^2}{\frac{a\sqrt{\cos \alpha}}{2\sin \frac{\alpha}{2}}}=\frac{a}{2\sin \frac{\alpha}{2}\sqrt{\cos \alpha}}.$$
Следовательно,
$$R=\frac{SM}{2}=\frac{a}{4\sin \frac{\alpha}{2}\sqrt{\cos \alpha}}.$$
Для вписанного шара рассмотрим сечение плоскостью $$SOH$$. Пусть $$O_2$$ — центр вписанного шара, тогда $$OO_2=EO_2$$ — его радиус $$r$$. Из подобия треугольников $$SHO$$ и $$SO_2E$$ получаем
$$\frac{OO_2}{OH}=\frac{SO-OO_2}{SH}.$$
Отсюда
$$r=OO_2=\frac{OH\cdot SO}{OH+SH}.$$
Подставляя найденные значения, имеем
$$r=\frac{\frac a2\cdot \frac{a\sqrt{\cos \alpha}}{2\sin \frac{\alpha}{2}}}{\frac a2+\frac{a}{2\tg \frac{\alpha}{2}}} =\frac a2\sqrt{\frac{1-\tg \frac{\alpha}{2}}{1+\tg \frac{\alpha}{2}}}.$$
Ответ: $$r=\frac a2\sqrt{\frac{1-\tg \frac{\alpha}{2}}{1+\tg \frac{\alpha}{2}}},\qquad R=\frac{a}{4\sin \frac{\alpha}{2}\sqrt{\cos \alpha}}.$$
