Упр.50 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Расстояния от точки A до всех сторон квадрата равны $$a$$. Найдите расстояние от точки A до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна $$d$$.
Пусть $$AO$$ — искомое расстояние от точки $$A$$ до плоскости квадрата.
Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей квадрата. Тогда $$O$$ — центр вписанной окружности, а значит, расстояния от $$O$$ до всех сторон квадрата равны.
Так как расстояния от точки $$A$$ до всех сторон квадрата равны $$a$$, то наклонные к этим сторонам равны: $$AE=AK=a$$. Их проекции на плоскость квадрата равны $$OE$$ и $$OK$$ соответственно. По теореме о трёх перпендикулярах имеем $$OE\perp MF$$ и $$OK\perp QN$$.
Следовательно, $$O$$ равноудалена от всех сторон квадрата, то есть является центром вписанной окружности. Значит, $$O$$ — точка пересечения диагоналей квадрата, поэтому
$$ON=\frac d2.$$
В прямоугольном треугольнике $$OKN$$ угол $$\angle NOK=45^\circ$$, так как квадрат имеет прямые углы и равные стороны. Тогда
$$OK=ON\cdot \sin 45^\circ=\frac d2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac d{2\sqrt2}.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOK$$:
$$AO=\sqrt{AK^2-OK^2}=\sqrt{a^2-\left(\frac d{2\sqrt2}\right)^2}=\sqrt{a^2-\frac{d^2}{8}}.$$
Ответ: $$\sqrt{a^2-\frac{d^2}{8}}$$.
