Упр.5 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: 5. Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно а.

Подробный ответ

Высота цилиндра равна высоте призмы, поэтому $$h=a.$$

Основанием цилиндра является окружность, вписанная в правильный шестиугольник. Радиус этой окружности равен расстоянию от центра шестиугольника до его стороны.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, значит $$OA=OB=a,$$ а $$AB=a.$$ Тогда $$\triangle AOB$$ — равносторонний.

Пусть $$D$$ — основание перпендикуляра из центра $$O$$ на сторону $$AB$$. Тогда $$D$$ — середина $$AB$$, и

$$ OD=\sqrt{OB^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{3a^2}{4}} =\frac{a\sqrt{3}}{2}. $$

Следовательно, радиус цилиндра

$$ r=\frac{a\sqrt{3}}{2}. $$

Теперь найдём объём цилиндра:

$$ V=\pi r^2h =\pi\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2\cdot a =\pi\cdot \frac{3a^2}{4}\cdot a =\frac{3}{4}\pi a^3. $$