Упр.5 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 8-5. Найдите объём цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно $$a$$.

Высота цилиндра равна высоте призмы, то есть $$h=a.$$

Основанием цилиндра является окружность, вписанная в правильный шестиугольник. Радиус этой окружности равен апофеме шестиугольника.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$, где $$O$$ — центр шестиугольника, а $$A$$ и $$B$$ — соседние вершины. Так как в правильном шестиугольнике $$OA=OB=a$$ и $$AB=a$$, то треугольник $$AOB$$ равносторонний.

Тогда расстояние от центра до стороны $$AB$$ равно

$$OD=\sqrt{OB^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Значит, радиус цилиндра

$$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Теперь найдём объём цилиндра:

$$V=\pi r^2h =\pi\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2\cdot a =\pi\cdot \frac{3a^2}{4}\cdot a =\frac{3}{4}\pi a^3.$$

Ответ: $$\frac{3}{4}\pi a^3$$.