Упр.5 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Высота цилиндра $$6\ \text{дм}$$, радиус основания $$5\ \text{дм}$$. Концы отрезка $$AB$$, равного $$10\ \text{дм}$$, лежат на окружностях обоих оснований. Найдите кратчайшее расстояние от него до оси.

Проведём через отрезок $$AB$$ плоскость, параллельную оси цилиндра. Тогда линия пересечения этой плоскости с цилиндром — прямоугольник, у которого одна сторона равна высоте цилиндра $$6$$ дм, а другая — хорде основания.

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$AB=10$$ дм и катетом $$6$$ дм найдём вторую сторону прямоугольника:

$$AD=\sqrt{AB^2-6^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\text{ дм}.$$

Теперь рассмотрим основание цилиндра. Радиус основания равен $$5$$ дм, значит, в равнобедренном треугольнике с боковыми сторонами $$5$$ дм и основанием $$AD=8$$ дм расстояние от центра основания до хорды $$AD$$ равно расстоянию от оси цилиндра до отрезка $$AB$$. Обозначим это расстояние через $$OK$$. Тогда $$K$$ — середина хорды $$AD$$, поэтому

$$AK=\frac{1}{2}AD=4\text{ дм}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOK$$:

$$OK=\sqrt{OA^2-AK^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3\text{ дм}.$$

Ответ: $$3$$ дм.