Упр.5 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Концы отрезка AB, равного 10 дм, лежат на окружностях обоих оснований. Найдите кратчайшее расстояние от него до оси.

Подробный ответ

Проведём через отрезок $$AB$$ плоскость, параллельную оси цилиндра. Тогда сечение цилиндра этой плоскостью — прямоугольник $$ABCD$$, где $$AD$$ и $$BC$$ равны высоте цилиндра, то есть $$6$$ дм.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADB$$:

$$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\text{ дм}.$$

Теперь в треугольнике $$AOD$$ имеем $$OA=OD=5$$ дм, значит он равнобедренный. Проведём $$OK\perp AD$$. Тогда $$K$$ — середина отрезка $$AD$$, поэтому

$$AK=\frac{1}{2}AD=4\text{ дм}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOK$$:

$$OK=\sqrt{OA^2-AK^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3\text{ дм}.$$

Следовательно, кратчайшее расстояние от отрезка $$AB$$ до оси цилиндра равно $$3$$ дм.