Упр.5 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: B плоскости xy найдите точку D (x; у; 0), равноудаленную от трех данных точек: A (0; 1; -1), B (-1; 0; 1), C (0; -1; 0).

Подробный ответ

Пусть $$D(x;y;0)$$ — искомая точка плоскости $$xy$$, равноудалённая от точек $$A(0;1;-1)$$, $$B(-1;0;1)$$ и $$C(0;-1;0)$$.

Тогда по условию $$AD=BD=CD$$, значит достаточно приравнять квадраты расстояний:

$$ AD^2=(x-0)^2+(y-1)^2+(0+1)^2=x^2+y^2-2y+2, $$
$$ BD^2=(x+1)^2+(y-0)^2+(0-1)^2=x^2+2x+y^2+2, $$
$$ CD^2=(x-0)^2+(y+1)^2+(0-0)^2=x^2+y^2+2y+1. $$

Из равенства $$AD^2=CD^2$$ получаем:

$$ x^2+y^2-2y+2=x^2+y^2+2y+1, $$
$$ -4y+1=0, $$
$$ y=\frac14. $$

Из равенства $$BD^2=CD^2$$ получаем:

$$ x^2+2x+y^2+2=x^2+y^2+2y+1, $$
$$ 2x-2y+1=0. $$

Подставим $$y=\frac14$$:

$$ 2x-2\cdot\frac14+1=0, $$
$$ 2x-\frac12+1=0, $$
$$ 2x+\frac12=0, $$
$$ x=-\frac14. $$

Следовательно, искомая точка:

$$ D\left(-\frac14;\frac14;0\right). $$